Математический анализ Примеры

$\int \frac{1}{\sqrt{4 - 4 x^{2}}} d x$

Этап 1

Пусть $x = \sin (t)$ , где $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Тогда $d x = \cos (t) d t$ . Заметим, что поскольку $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , выражение $\cos (t)$ положительно.

$\int \frac{1}{\sqrt{4 - 4 \sin^{2} (t)}} \cos (t) d t$

Этап 2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим $\sqrt{4 - 4 \sin^{2} (t)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{4 (1) - 4 \sin^{2} (t)}} \cos (t) d t$

Этап 2.1.2

Вынесем множитель $4$ из $- 4 \sin^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{4 (1) + 4 (- \sin^{2} (t))}} \cos (t) d t$

Этап 2.1.3

Вынесем множитель $4$ из $4 (1) + 4 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{4 (1 - \sin^{2} (t))}} \cos (t) d t$

Этап 2.1.4

Применим формулу Пифагора.

$\int \frac{1}{\sqrt{4 \cos^{2} (t)}} \cos (t) d t$

Этап 2.1.5

Перепишем $4 \cos^{2} (t)$ в виде ${(2 \cos (t))}^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(2 \cos (t))}^{2}}} \cos (t) d t$

Этап 2.1.6

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\int \frac{1}{2 \cos (t)} \cos (t) d t$

Этап 2.2

Сократим общий множитель $\cos (t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем множитель $\cos (t)$ из $2 \cos (t)$ .

$\int \frac{1}{\cos (t) \cdot 2} \cos (t) d t$

Этап 2.2.2

Сократим общий множитель.

$\int \frac{1}{\cos (t) \cdot 2} \cos (t) d t$

Этап 2.2.3

Перепишем это выражение.

$\int \frac{1}{2} d t$

Этап 3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{2} t + C$

Этап 4

Заменим все вхождения $t$ на $\arcsin (x)$ .

$\frac{1}{2} \arcsin (x) + C$