Математический анализ Примеры

$\int \frac{1}{t \sqrt{t}} d t$

Этап 1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{t}$ в виде $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{1}{t \cdot t^{\frac{1}{2}}} d t$

Этап 1.1.2

Умножим $t$ на $t^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Умножим $t$ на $t^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1

Возведем $t$ в степень $1$ .

$\int \frac{1}{t^{1} t^{\frac{1}{2}}} d t$

Этап 1.1.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int \frac{1}{t^{1 + \frac{1}{2}}} d t$

Этап 1.1.2.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\int \frac{1}{t^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}} d t$

Этап 1.1.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\int \frac{1}{t^{\frac{2 + 1}{2}}} d t$

Этап 1.1.2.4

Добавим $2$ и $1$ .

$\int \frac{1}{t^{\frac{3}{2}}} d t$

Этап 1.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем $t^{\frac{3}{2}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int {(t^{\frac{3}{2}})}^{- 1} d t$

Этап 1.2.2

Перемножим экспоненты в ${(t^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int t^{\frac{3}{2} \cdot - 1} d t$

Этап 1.2.2.2

Умножим $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1

Объединим $\frac{3}{2}$ и $- 1$ .

$\int t^{\frac{3 \cdot - 1}{2}} d t$

Этап 1.2.2.2.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\int t^{\frac{- 3}{2}} d t$

Этап 1.2.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int t^{- \frac{3}{2}} d t$

Этап 2

По правилу степени интеграл $t^{- \frac{3}{2}}$ по $t$ имеет вид $- 2 t^{- \frac{1}{2}}$ .

$- 2 t^{- \frac{1}{2}} + C$

Этап 3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем $- 2 t^{- \frac{1}{2}} + C$ в виде $- 2 \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} + C$ .

$- 2 \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} + C$

Этап 3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2}{t^{\frac{1}{2}}} + C$

Этап 3.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2}{t^{\frac{1}{2}}} + C$