Математический анализ Примеры

$\int \frac{1}{x (x - 1)} d x$

Этап 1

Запишем дробь, используя разложение на элементарные дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку множитель в знаменателе линейный, поместим одну переменную на его место $B$ .

$\frac{A}{x} + \frac{B}{x - 1}$

Этап 1.1.2

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен $x (x - 1)$ .

$\frac{1 (x (x - 1))}{x (x - 1)} = \frac{A (x (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x - 1))}{x - 1}$

Этап 1.1.3

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1 (x (x - 1))}{x (x - 1)} = \frac{A (x (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x - 1))}{x - 1}$

Этап 1.1.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1 (x - 1)}{x - 1} = \frac{A (x (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x - 1))}{x - 1}$

Этап 1.1.4

Сократим общий множитель $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1 (x - 1)}{x - 1} = \frac{A (x (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x - 1))}{x - 1}$

Этап 1.1.4.2

Перепишем это выражение.

$1 = \frac{A (x (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x - 1))}{x - 1}$

Этап 1.1.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.1.1

Сократим общий множитель.

$1 = \frac{A (x (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x - 1))}{x - 1}$

Этап 1.1.5.1.2

Разделим $A (x - 1)$ на $1$ .

$1 = A (x - 1) + \frac{(B) (x (x - 1))}{x - 1}$

Этап 1.1.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$1 = A x + A \cdot - 1 + \frac{(B) (x (x - 1))}{x - 1}$

Этап 1.1.5.3

Перенесем $- 1$ влево от $A$ .

$1 = A x - 1 \cdot A + \frac{(B) (x (x - 1))}{x - 1}$

Этап 1.1.5.4

Перепишем $- 1 A$ в виде $- A$ .

$1 = A x - A + \frac{(B) (x (x - 1))}{x - 1}$

Этап 1.1.5.5

Сократим общий множитель $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.5.1

Сократим общий множитель.

$1 = A x - A + \frac{B (x (x - 1))}{x - 1}$

Этап 1.1.5.5.2

Разделим $(B) (x)$ на $1$ .

$1 = A x - A + (B) (x)$

$1 = A x - A + B x$

Этап 1.1.6

Перенесем $- A$ .

$1 = A x + B x - A$

Этап 1.2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$0 = A + B$

Этап 1.2.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $x$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$1 = - 1 A$

Этап 1.2.3

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$0 = A + B$

$1 = - 1 A$

$0 = A + B$

$1 = - 1 A$

Этап 1.3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Решим относительно $A$ в $1 = - 1 A$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Перепишем уравнение в виде $- 1 A = 1$ .

$- 1 A = 1$

$0 = A + B$

Этап 1.3.1.2

Разделим каждый член $- 1 A = 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.2.1

Разделим каждый член $- 1 A = 1$ на $- 1$ .

$\frac{- 1 A}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

$0 = A + B$

Этап 1.3.1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{A}{1} = \frac{1}{- 1}$

$0 = A + B$

Этап 1.3.1.2.2.2

Разделим $A$ на $1$ .

$A = \frac{1}{- 1}$

$0 = A + B$

$A = \frac{1}{- 1}$

$0 = A + B$

Этап 1.3.1.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.2.3.1

Разделим $1$ на $- 1$ .

$A = - 1$

$0 = A + B$

$A = - 1$

$0 = A + B$

$A = - 1$

$0 = A + B$

$A = - 1$

$0 = A + B$

Этап 1.3.2

Заменим все вхождения $A$ на $- 1$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Заменим все вхождения $A$ в $0 = A + B$ на $- 1$ .

$0 = (- 1) + B$

$A = - 1$

Этап 1.3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.2.1

Избавимся от скобок.

$0 = - 1 + B$

$A = - 1$

$0 = - 1 + B$

$A = - 1$

$0 = - 1 + B$

$A = - 1$

Этап 1.3.3

Решим относительно $B$ в $0 = - 1 + B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Перепишем уравнение в виде $- 1 + B = 0$ .

$- 1 + B = 0$

$A = - 1$

Этап 1.3.3.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$B = 1$

$A = - 1$

$B = 1$

$A = - 1$

Этап 1.3.4

Решим систему уравнений.

$B = 1 A = - 1$

Этап 1.3.5

Перечислим все решения.

$B = 1, A = - 1$

Этап 1.4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $\frac{A}{x} + \frac{B}{x - 1}$ значениями, найденными для $A$ и $B$ .

$- \frac{1}{x} + \frac{1}{x - 1}$

Этап 1.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int - \frac{1}{x} + \frac{1}{x - 1} d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int - \frac{1}{x} d x + \int \frac{1}{x - 1} d x$

Этап 3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{1}{x - 1} d x$

Этап 4

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$- (\ln (| x |) + C) + \int \frac{1}{x - 1} d x$

Этап 5

Пусть $u = x - 1$ . Тогда $d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть $u = x - 1$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Дифференцируем $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Этап 5.1.2

По правилу суммы производная $x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 5.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 5.1.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 5.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 5.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$- (\ln (| x |) + C) + \int \frac{1}{u} d u$

Этап 6

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$- (\ln (| x |) + C) + \ln (| u |) + C$

Этап 7

Упростим.

$- \ln (| x |) + \ln (| u |) + C$

Этап 8

Заменим все вхождения $u$ на $x - 1$ .

$- \ln (| x |) + \ln (| x - 1 |) + C$