Математический анализ Примеры

$\int - \frac{1}{4} \cdot \sin (2 x) d x$

Этап 1

Поскольку $- \frac{1}{4}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- \frac{1}{4}$ из-под знака интеграла.

$- \frac{1}{4} \int \sin (2 x) d x$

Этап 2

Пусть $u = 2 x$ . Тогда $d u = 2 d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u = 2 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 2.1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Этап 2.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$- \frac{1}{4} \int \sin (u) \frac{1}{2} d u$

Этап 3

Объединим $\sin (u)$ и $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{4} \int \frac{\sin (u)}{2} d u$

Этап 4

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$- \frac{1}{4} (\frac{1}{2} \int \sin (u) d u)$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{2 \cdot 4} \int \sin (u) d u$

Этап 5.2

Умножим $2$ на $4$ .

$- \frac{1}{8} \int \sin (u) d u$

Этап 6

Интеграл $\sin (u)$ по $u$ имеет вид $- \cos (u)$ .

$- \frac{1}{8} (- \cos (u) + C)$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим.

$- \frac{1}{8} (- \cos (u)) + C$

Этап 7.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 (\frac{1}{8}) \cos (u) + C$

Этап 7.2.2

Умножим $\frac{1}{8}$ на $1$ .

$\frac{1}{8} \cos (u) + C$

Этап 7.2.3

Объединим $\frac{1}{8}$ и $\cos (u)$ .

$\frac{\cos (u)}{8} + C$

Этап 8

Заменим все вхождения $u$ на $2 x$ .

$\frac{\cos (2 x)}{8} + C$

Этап 9

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{8} \cos (2 x) + C$