Математический анализ Примеры

$\int \frac{1}{3 + 25 x^{2}} d x$

Этап 1

Вынесем множитель $25$ из $3 + 25 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $25$ из $3$ .

$\int \frac{1}{25 (\frac{3}{25}) + 25 x^{2}} d x$

Этап 1.2

Вынесем множитель $25$ из $25 x^{2}$ .

$\int \frac{1}{25 (\frac{3}{25}) + 25 (x^{2})} d x$

Этап 1.3

Вынесем множитель $25$ из $25 (\frac{3}{25}) + 25 (x^{2})$ .

$\int \frac{1}{25 (\frac{3}{25} + x^{2})} d x$

Этап 2

Поскольку $\frac{1}{25}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{25}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{25} \int \frac{1}{\frac{3}{25} + x^{2}} d x$

Этап 3

Перепишем $\frac{3}{25}$ в виде ${(\frac{\sqrt{3}}{5})}^{2}$ .

$\frac{1}{25} \int \frac{1}{{(\frac{\sqrt{3}}{5})}^{2} + x^{2}} d x$

Этап 4

Интеграл $\frac{1}{{(\frac{\sqrt{3}}{5})}^{2} + x^{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{5}} \arctan (\frac{x}{\frac{\sqrt{3}}{5}}) + C$ .

$\frac{1}{25} (\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{5}} \arctan (\frac{x}{\frac{\sqrt{3}}{5}}) + C)$

Этап 5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{\sqrt{3}}{5}$ .

$\frac{1}{25} (1 \frac{5}{\sqrt{3}} \arctan (\frac{x}{\frac{\sqrt{3}}{5}}) + C)$

Этап 5.1.2

Умножим $\frac{5}{\sqrt{3}}$ на $1$ .

$\frac{1}{25} (\frac{5}{\sqrt{3}} \arctan (\frac{x}{\frac{\sqrt{3}}{5}}) + C)$

Этап 5.1.3

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{\sqrt{3}}{5}$ .

$\frac{1}{25} (\frac{5}{\sqrt{3}} \arctan (x \frac{5}{\sqrt{3}}) + C)$

Этап 5.1.4

Объединим $x$ и $\frac{5}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{1}{25} (\frac{5}{\sqrt{3}} \arctan (\frac{x \cdot 5}{\sqrt{3}}) + C)$

Этап 5.1.5

Перенесем $5$ влево от $x$ .

$\frac{1}{25} (\frac{5}{\sqrt{3}} \arctan (\frac{5 \cdot x}{\sqrt{3}}) + C)$

Этап 5.1.6

Объединим $\frac{5}{\sqrt{3}}$ и $\arctan (\frac{5 x}{\sqrt{3}})$ .

$\frac{1}{25} (\frac{5 \arctan (\frac{5 x}{\sqrt{3}})}{\sqrt{3}} + C)$

Этап 5.2

Перепишем $\frac{1}{25} (\frac{5 \arctan (\frac{5 x}{\sqrt{3}})}{\sqrt{3}} + C)$ в виде $\frac{1}{25} \cdot \frac{5 \arctan (\frac{5 x \sqrt{3}}{3})}{\sqrt{3}} + C$ .

$\frac{1}{25} \cdot \frac{5 \arctan (\frac{5 x \sqrt{3}}{3})}{\sqrt{3}} + C$

Этап 5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Умножим $\frac{1}{25}$ на $\frac{5 \arctan (\frac{5 x \sqrt{3}}{3})}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{5 \arctan (\frac{5 x \sqrt{3}}{3})}{25 \sqrt{3}} + C$

Этап 5.3.2

Сократим общий множитель $5$ и $25$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Вынесем множитель $5$ из $5 \arctan (\frac{5 x \sqrt{3}}{3})$ .

$\frac{5 (\arctan (\frac{5 x \sqrt{3}}{3}))}{25 \sqrt{3}} + C$

Этап 5.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.1

Вынесем множитель $5$ из $25 \sqrt{3}$ .

$\frac{5 (\arctan (\frac{5 x \sqrt{3}}{3}))}{5 (5 \sqrt{3})} + C$

Этап 5.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{5 \arctan (\frac{5 x \sqrt{3}}{3})}{5 (5 \sqrt{3})} + C$

Этап 5.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\arctan (\frac{5 x \sqrt{3}}{3})}{5 \sqrt{3}} + C$

Этап 5.4

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{5 \sqrt{3}} \arctan (\frac{5 \sqrt{3}}{3} x) + C$