Математический анализ Примеры

$f (x) = 3 x^{4} + 16 x^{3}$

Этап 1

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $3 x^{4} + 16 x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}]$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{4}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}]$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [16 x^{3}]$

Этап 1.1.2.3

Умножим $4$ на $3$ .

$12 x^{3} + \frac{d}{d x} [16 x^{3}]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [16 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $16$ является константой относительно $x$ , производная $16 x^{3}$ по $x$ равна $16 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$12 x^{3} + 16 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$12 x^{3} + 16 (3 x^{2})$

Этап 1.1.3.3

Умножим $3$ на $16$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + 48 x^{2}$

Этап 1.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

По правилу суммы производная $12 x^{3} + 48 x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [48 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [48 x^{2}]$

Этап 1.2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [12 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Поскольку $12$ является константой относительно $x$ , производная $12 x^{3}$ по $x$ равна $12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$12 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [48 x^{2}]$

Этап 1.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [48 x^{2}]$

Этап 1.2.2.3

Умножим $3$ на $12$ .

$36 x^{2} + \frac{d}{d x} [48 x^{2}]$

Этап 1.2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [48 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Поскольку $48$ является константой относительно $x$ , производная $48 x^{2}$ по $x$ равна $48 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$36 x^{2} + 48 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$36 x^{2} + 48 (2 x)$

Этап 1.2.3.3

Умножим $2$ на $48$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + 96 x$

Этап 1.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $36 x^{2} + 96 x$ .

$36 x^{2} + 96 x$

Этап 2

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $36 x^{2} + 96 x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$36 x^{2} + 96 x = 0$

Этап 2.2

Вынесем множитель $12 x$ из $36 x^{2} + 96 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем множитель $12 x$ из $36 x^{2}$ .

$12 x (3 x) + 96 x = 0$

Этап 2.2.2

Вынесем множитель $12 x$ из $96 x$ .

$12 x (3 x) + 12 x (8) = 0$

Этап 2.2.3

Вынесем множитель $12 x$ из $12 x (3 x) + 12 x (8)$ .

$12 x (3 x + 8) = 0$

Этап 2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$3 x + 8 = 0$

Этап 2.4

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 2.5

Приравняем $3 x + 8$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $3 x + 8$ к $0$ .

$3 x + 8 = 0$

Этап 2.5.2

Решим $3 x + 8 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Вычтем $8$ из обеих частей уравнения.

$3 x = - 8$

Этап 2.5.2.2

Разделим каждый член $3 x = - 8$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.1

Разделим каждый член $3 x = - 8$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 8}{3}$

Этап 2.5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 8}{3}$

Этап 2.5.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 8}{3}$

Этап 2.5.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{8}{3}$

Этап 2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $12 x (3 x + 8) = 0$ верно.

$x = 0, - \frac{8}{3}$

Этап 3

Найдем точки, в которых вторая производная равна $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $0$ в $f (x) = 3 x^{4} + 16 x^{3}$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = 3 {(0)}^{4} + 16 {(0)}^{3}$

Этап 3.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = 3 \cdot 0 + 16 {(0)}^{3}$

Этап 3.1.2.1.2

Умножим $3$ на $0$ .

$f (0) = 0 + 16 {(0)}^{3}$

Этап 3.1.2.1.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = 0 + 16 \cdot 0$

Этап 3.1.2.1.4

Умножим $16$ на $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Этап 3.1.2.2

Добавим $0$ и $0$ .

$f (0) = 0$

Этап 3.1.2.3

Окончательный ответ: $0$ .

$0$

Этап 3.2

Подставляя $0$ в $f (x) = 3 x^{4} + 16 x^{3}$ , найдем точку $(0, 0)$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(0, 0)$

Этап 3.3

Подставим $- \frac{8}{3}$ в $f (x) = 3 x^{4} + 16 x^{3}$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- \frac{8}{3}$ .

$f (- \frac{8}{3}) = 3 {(- \frac{8}{3})}^{4} + 16 {(- \frac{8}{3})}^{3}$

Этап 3.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{8}{3}$ .

$f (- \frac{8}{3}) = 3 ({(- 1)}^{4} {(\frac{8}{3})}^{4}) + 16 {(- \frac{8}{3})}^{3}$

Этап 3.3.2.1.1.2

Применим правило умножения к $\frac{8}{3}$ .

$f (- \frac{8}{3}) = 3 ({(- 1)}^{4} (\frac{8^{4}}{3^{4}})) + 16 {(- \frac{8}{3})}^{3}$

Этап 3.3.2.1.2

Возведем $- 1$ в степень $4$ .

$f (- \frac{8}{3}) = 3 (1 (\frac{8^{4}}{3^{4}})) + 16 {(- \frac{8}{3})}^{3}$

Этап 3.3.2.1.3

Умножим $\frac{8^{4}}{3^{4}}$ на $1$ .

$f (- \frac{8}{3}) = 3 (\frac{8^{4}}{3^{4}}) + 16 {(- \frac{8}{3})}^{3}$

Этап 3.3.2.1.4

Возведем $8$ в степень $4$ .

$f (- \frac{8}{3}) = 3 (\frac{4096}{3^{4}}) + 16 {(- \frac{8}{3})}^{3}$

Этап 3.3.2.1.5

Возведем $3$ в степень $4$ .

$f (- \frac{8}{3}) = 3 (\frac{4096}{81}) + 16 {(- \frac{8}{3})}^{3}$

Этап 3.3.2.1.6

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.6.1

Вынесем множитель $3$ из $81$ .

$f (- \frac{8}{3}) = 3 (\frac{4096}{3 (27)}) + 16 {(- \frac{8}{3})}^{3}$

Этап 3.3.2.1.6.2

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{8}{3}) = 3 (\frac{4096}{3 \cdot 27}) + 16 {(- \frac{8}{3})}^{3}$

Этап 3.3.2.1.6.3

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{8}{3}) = \frac{4096}{27} + 16 {(- \frac{8}{3})}^{3}$

Этап 3.3.2.1.7

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.7.1

Применим правило умножения к $- \frac{8}{3}$ .

$f (- \frac{8}{3}) = \frac{4096}{27} + 16 ({(- 1)}^{3} {(\frac{8}{3})}^{3})$

Этап 3.3.2.1.7.2

Применим правило умножения к $\frac{8}{3}$ .

$f (- \frac{8}{3}) = \frac{4096}{27} + 16 ({(- 1)}^{3} (\frac{8^{3}}{3^{3}}))$

Этап 3.3.2.1.8

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$f (- \frac{8}{3}) = \frac{4096}{27} + 16 (- \frac{8^{3}}{3^{3}})$

Этап 3.3.2.1.9

Возведем $8$ в степень $3$ .

$f (- \frac{8}{3}) = \frac{4096}{27} + 16 (- \frac{512}{3^{3}})$

Этап 3.3.2.1.10

Возведем $3$ в степень $3$ .

$f (- \frac{8}{3}) = \frac{4096}{27} + 16 (- \frac{512}{27})$

Этап 3.3.2.1.11

Умножим $16 (- \frac{512}{27})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.11.1

Умножим $- 1$ на $16$ .

$f (- \frac{8}{3}) = \frac{4096}{27} - 16 (\frac{512}{27})$

Этап 3.3.2.1.11.2

Объединим $- 16$ и $\frac{512}{27}$ .

$f (- \frac{8}{3}) = \frac{4096}{27} + \frac{- 16 \cdot 512}{27}$

Этап 3.3.2.1.11.3

Умножим $- 16$ на $512$ .

$f (- \frac{8}{3}) = \frac{4096}{27} + \frac{- 8192}{27}$

Этап 3.3.2.1.12

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- \frac{8}{3}) = \frac{4096}{27} - \frac{8192}{27}$

Этап 3.3.2.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- \frac{8}{3}) = \frac{4096 - 8192}{27}$

Этап 3.3.2.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.2.1

Вычтем $8192$ из $4096$ .

$f (- \frac{8}{3}) = \frac{- 4096}{27}$

Этап 3.3.2.2.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- \frac{8}{3}) = - \frac{4096}{27}$

Этап 3.3.2.3

Окончательный ответ: $- \frac{4096}{27}$ .

$- \frac{4096}{27}$

Этап 3.4

Подставляя $- \frac{8}{3}$ в $f (x) = 3 x^{4} + 16 x^{3}$ , найдем точку $(- \frac{8}{3}, - \frac{4096}{27})$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(- \frac{8}{3}, - \frac{4096}{27})$

Этап 3.5

Определим точки, которые могут быть точками перегиба.

$(0, 0), (- \frac{8}{3}, - \frac{4096}{27})$

Этап 4

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на интервалы вокруг точек, которые могут быть точками перегиба.

$(- \infty, - \frac{8}{3}) \cup (- \frac{8}{3}, 0) \cup (0, \infty)$

Этап 5

Подставим значение из интервала $(- \infty, - \frac{8}{3})$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2.7\overline{6}$ .

$f'' (- 2.7\overline{6}) = 36 {(- 2.7\overline{6})}^{2} + 96 (- 2.7\overline{6})$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Возведем $- 2.7\overline{6}$ в степень $2$ .

$f'' (- 2.7\overline{6}) = 36 \cdot 7.65\overline{4} + 96 (- 2.7\overline{6})$

Этап 5.2.1.2

Умножим $36$ на $7.65\overline{4}$ .

$f'' (- 2.7\overline{6}) = 275.56 + 96 (- 2.7\overline{6})$

Этап 5.2.1.3

Умножим $96$ на $- 2.7\overline{6}$ .

$f'' (- 2.7\overline{6}) = 275.56 - 265.6$

Этап 5.2.2

Вычтем $265.6$ из $275.56$ .

$f'' (- 2.7\overline{6}) = 9.96$

Этап 5.2.3

Окончательный ответ: $9.96$ .

$9.96$

Этап 5.3

При $- 2.7\overline{6}$ вторая производная имеет вид $9.96$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(- \infty, - \frac{8}{3})$ .

Возрастание в области $(- \infty, - \frac{8}{3})$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- \frac{8}{3}, 0)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1.33333333$ .

$f'' (- 1.33333333) = 36 {(- 1.33333333)}^{2} + 96 (- 1.33333333)$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Возведем $- 1.33333333$ в степень $2$ .

$f'' (- 1.33333333) = 36 \cdot 1.\overline{7} + 96 (- 1.33333333)$

Этап 6.2.1.2

Умножим $36$ на $1.\overline{7}$ .

$f'' (- 1.33333333) = 64 + 96 (- 1.33333333)$

Этап 6.2.1.3

Умножим $96$ на $- 1.33333333$ .

$f'' (- 1.33333333) = 64 - 128$

Этап 6.2.2

Вычтем $128$ из $64$ .

$f'' (- 1.33333333) = - 64$

Этап 6.2.3

Окончательный ответ: $- 64$ .

$- 64$

Этап 6.3

При $- 1.33333333$ вторая производная имеет вид $- 64$ . Поскольку это отрицательная величина, вторая производная уменьшается на интервале $(- \frac{8}{3}, 0)$ .

Убывание на $(- \frac{8}{3}, 0)$ , так как $f'' (x) < 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(0, \infty)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0.1$ .

$f'' (0.1) = 36 {(0.1)}^{2} + 96 (0.1)$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Возведем $0.1$ в степень $2$ .

$f'' (0.1) = 36 \cdot 0.01 + 96 (0.1)$

Этап 7.2.1.2

Умножим $36$ на $0.01$ .

$f'' (0.1) = 0.36 + 96 (0.1)$

Этап 7.2.1.3

Умножим $96$ на $0.1$ .

$f'' (0.1) = 0.36 + 9.6$

Этап 7.2.2

Добавим $0.36$ и $9.6$ .

$f'' (0.1) = 9.96$

Этап 7.2.3

Окончательный ответ: $9.96$ .

$9.96$

Этап 7.3

При $0.1$ вторая производная имеет вид $9.96$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(0, \infty)$ .

Возрастание в области $(0, \infty)$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 8

Точка перегиба — это точка на кривой, в которой вогнутость меняет знак с плюса на минус или с минуса на плюс. Точки перегиба в данном случае: $(- \frac{8}{3}, - \frac{4096}{27}), (0, 0)$ .

$(- \frac{8}{3}, - \frac{4096}{27}), (0, 0)$

Этап 9