Математический анализ Примеры

$f (x) = 5 \sqrt{x^{5}}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $\frac{d}{d x} [5 \sqrt{x^{5}}]$ в виде $\frac{d}{d x} [5 (x^{2} \sqrt{x})]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Перепишем $x^{5}$ в виде ${(x^{2})}^{2} x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Вынесем $x^{4}$ за скобки.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (5 \sqrt{x^{4} x})$

Этап 1.1.1.2

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (5 \sqrt{{(x^{2})}^{2} x})$

Этап 1.1.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (5 (x^{2} \sqrt{x}))$

Этап 1.2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (5 (x^{2} x^{\frac{1}{2}}))$

Этап 1.3

Умножим $x^{2}$ на $x^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (5 x^{2 + \frac{1}{2}})$

Этап 1.3.2

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (5 x^{2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}})$

Этап 1.3.3

Объединим $2$ и $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (5 x^{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}})$

Этап 1.3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (5 x^{\frac{2 \cdot 2 + 1}{2}})$

Этап 1.3.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.1

Умножим $2$ на $2$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (5 x^{\frac{4 + 1}{2}})$

Этап 1.3.5.2

Добавим $4$ и $1$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (5 x^{\frac{5}{2}})$

Этап 1.4

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x^{\frac{5}{2}}$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]$ .

$f' (x) = 5 \frac{d}{d x} (x^{\frac{5}{2}})$

Этап 1.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{5}{2}$ .

$f' (x) = 5 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1})$

Этап 1.6

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = 5 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Этап 1.7

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = 5 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Этап 1.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (x) = 5 (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}})$

Этап 1.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f' (x) = 5 (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 2}{2}})$

Этап 1.9.2

Вычтем $2$ из $5$ .

$f' (x) = 5 (\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}})$

Этап 1.10

Объединим $\frac{5}{2}$ и $x^{\frac{3}{2}}$ .

$f' (x) = 5 (\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2})$

Этап 1.11

Объединим $5$ и $\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ .

$f' (x) = \frac{5 (5 x^{\frac{3}{2}})}{2}$

Этап 1.12

Умножим $5$ на $5$ .

$f' (x) = \frac{25 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $\frac{25}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{25 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ по $x$ равна $\frac{25}{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

$f'' (x) = \frac{25}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{3}{2}})$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{3}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{25}{2} \cdot (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})$

Этап 2.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{25}{2} \cdot (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Этап 2.4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{25}{2} \cdot (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Этап 2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = \frac{25}{2} \cdot (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})$

Этап 2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f'' (x) = \frac{25}{2} \cdot (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}})$

Этап 2.6.2

Вычтем $2$ из $3$ .

$f'' (x) = \frac{25}{2} \cdot (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}})$

Этап 2.7

Объединим $\frac{3}{2}$ и $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{25}{2} \cdot \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Этап 2.8

Умножим $\frac{25}{2}$ на $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{25 (3 x^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 2}$

Этап 2.9

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1

Умножим $3$ на $25$ .

$f'' (x) = \frac{75 x^{\frac{1}{2}}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.9.2

Умножим $2$ на $2$ .

$f'' (x) = \frac{75 x^{\frac{1}{2}}}{4}$

Этап 3

Найдем третью производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $\frac{75}{4}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{75 x^{\frac{1}{2}}}{4}$ по $x$ равна $\frac{75}{4} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$f''' (x) = \frac{75}{4} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}})$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$f''' (x) = \frac{75}{4} \cdot (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Этап 3.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f''' (x) = \frac{75}{4} \cdot (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Этап 3.4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$f''' (x) = \frac{75}{4} \cdot (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Этап 3.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$f''' (x) = \frac{75}{4} \cdot (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Этап 3.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f''' (x) = \frac{75}{4} \cdot (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Этап 3.6.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$f''' (x) = \frac{75}{4} \cdot (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Этап 3.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f''' (x) = \frac{75}{4} \cdot (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Этап 3.8

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$f''' (x) = \frac{75}{4} \cdot \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Этап 3.9

Умножим $\frac{75}{4}$ на $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$f''' (x) = \frac{75 x^{- \frac{1}{2}}}{4 \cdot 2}$

Этап 3.10

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.1

Умножим $4$ на $2$ .

$f''' (x) = \frac{75 x^{- \frac{1}{2}}}{8}$

Этап 3.10.2

Перенесем $x^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f''' (x) = \frac{75}{8 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4

Найдем четвертую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $\frac{75}{8}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{75}{8 x^{\frac{1}{2}}}$ по $x$ равна $\frac{75}{8} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$f^{4} (x) = \frac{75}{8} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})$

Этап 4.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Перепишем $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ в виде ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$f^{4} (x) = \frac{75}{8} \cdot \frac{d}{d x} ({(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1})$

Этап 4.2.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{4} (x) = \frac{75}{8} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2} \cdot - 1})$

Этап 4.2.2.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$f^{4} (x) = \frac{75}{8} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{- 1}{2}})$

Этап 4.2.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f^{4} (x) = \frac{75}{8} \cdot \frac{d}{d x} (x^{- \frac{1}{2}})$

Этап 4.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - \frac{1}{2}$ .

$f^{4} (x) = \frac{75}{8} \cdot (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1})$

Этап 4.4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f^{4} (x) = \frac{75}{8} \cdot (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Этап 4.5

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$f^{4} (x) = \frac{75}{8} \cdot (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Этап 4.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$f^{4} (x) = \frac{75}{8} \cdot (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Этап 4.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f^{4} (x) = \frac{75}{8} \cdot (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 2}{2}})$

Этап 4.7.2

Вычтем $2$ из $- 1$ .

$f^{4} (x) = \frac{75}{8} \cdot (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 3}{2}})$

Этап 4.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f^{4} (x) = \frac{75}{8} \cdot (- \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}})$

Этап 4.9

Объединим $x^{- \frac{3}{2}}$ и $\frac{1}{2}$ .

$f^{4} (x) = \frac{75}{8} \cdot (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2})$

Этап 4.10

Умножим $\frac{75}{8}$ на $\frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}$ .

$f^{4} (x) = - \frac{75 x^{- \frac{3}{2}}}{8 \cdot 2}$

Этап 4.11

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.11.1

Умножим $8$ на $2$ .

$f^{4} (x) = - \frac{75 x^{- \frac{3}{2}}}{16}$

Этап 4.11.2

Перенесем $x^{- \frac{3}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f^{4} (x) = - \frac{75}{16 x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 5

Четвертая производная $f (x)$ по $x$ равна $- \frac{75}{16 x^{\frac{3}{2}}}$ .

$- \frac{75}{16 x^{\frac{3}{2}}}$