Математический анализ Примеры

$\sin (\frac{x}{2})$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \sin (x)$ и $g (x) = \frac{x}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\frac{x}{2}$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Этап 1.1.2

Производная $\sin (u)$ по $u$ равна $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Этап 1.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{x}{2}$ .

$\cos (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Этап 1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $\frac{1}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{x}{2}$ по $x$ равна $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (\frac{x}{2}) (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.2.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\cos (\frac{x}{2})$ .

$\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} \cdot 1$

Этап 1.2.4

Умножим $\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$ на $1$ .

$f' (x) = \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $\frac{1}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$ по $x$ равна $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{x}{2})]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{x}{2})]$

Этап 2.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\frac{x}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

Этап 2.2.2

Производная $\cos (u)$ по $u$ равна $- \sin (u)$ .

$\frac{1}{2} (- \sin (u) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

Этап 2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{x}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \sin (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

Этап 2.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\sin (\frac{x}{2})$ .

$- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{2} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Этап 2.3.2

Поскольку $\frac{1}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{x}{2}$ по $x$ равна $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{2} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.3.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{\sin (\frac{x}{2})}{2}$ .

$- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{2 \cdot 2} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3.3.2

Умножим $2$ на $2$ .

$- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4} \cdot 1$

Этап 2.3.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f'' (x) = - \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4}$

Этап 3

Найдем третью производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $- \frac{1}{4}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4}$ по $x$ равна $- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\sin (\frac{x}{2})]$ .

$- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\sin (\frac{x}{2})]$

Этап 3.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\frac{x}{2}$ .

$- \frac{1}{4} (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

Этап 3.2.2

Производная $\sin (u)$ по $u$ равна $\cos (u)$ .

$- \frac{1}{4} (\cos (u) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

Этап 3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{x}{2}$ .

$- \frac{1}{4} (\cos (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

Этап 3.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Объединим $\cos (\frac{x}{2})$ и $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{\cos (\frac{x}{2})}{4} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Этап 3.3.2

Поскольку $\frac{1}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{x}{2}$ по $x$ равна $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{\cos (\frac{x}{2})}{4} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.3.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{\cos (\frac{x}{2})}{4}$ .

$- \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2 \cdot 4} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.3.3.2

Умножим $2$ на $4$ .

$- \frac{\cos (\frac{x}{2})}{8} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- \frac{\cos (\frac{x}{2})}{8} \cdot 1$

Этап 3.3.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f''' (x) = - \frac{\cos (\frac{x}{2})}{8}$

Этап 4

Найдем четвертую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $- \frac{1}{8}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{\cos (\frac{x}{2})}{8}$ по $x$ равна $- \frac{1}{8} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{x}{2})]$ .

$- \frac{1}{8} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{x}{2})]$

Этап 4.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\frac{x}{2}$ .

$- \frac{1}{8} (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

Этап 4.2.2

Производная $\cos (u)$ по $u$ равна $- \sin (u)$ .

$- \frac{1}{8} (- \sin (u) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

Этап 4.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{x}{2}$ .

$- \frac{1}{8} (- \sin (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

Этап 4.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 (\frac{1}{8}) (\sin (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

Этап 4.3.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Умножим $\frac{1}{8}$ на $1$ .

$\frac{1}{8} (\sin (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

Этап 4.3.2.2

Объединим $\sin (\frac{x}{2})$ и $\frac{1}{8}$ .

$\frac{\sin (\frac{x}{2})}{8} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Этап 4.3.3

Поскольку $\frac{1}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{x}{2}$ по $x$ равна $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\sin (\frac{x}{2})}{8} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.3.4

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{\sin (\frac{x}{2})}{8}$ .

$\frac{\sin (\frac{x}{2})}{2 \cdot 8} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.3.4.2

Умножим $2$ на $8$ .

$\frac{\sin (\frac{x}{2})}{16} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\sin (\frac{x}{2})}{16} \cdot 1$

Этап 4.3.6

Умножим $\frac{\sin (\frac{x}{2})}{16}$ на $1$ .

$f^{4} (x) = \frac{\sin (\frac{x}{2})}{16}$