Математический анализ Примеры

$y = e^{x^{2}} + 11 x$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $e^{x^{2}} + 11 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [11 x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (e^{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (11 x)$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (11 x)$

Этап 1.2.1.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$f' (x) = e^{u} \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (11 x)$

Этап 1.2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$f' (x) = e^{x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (11 x)$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = e^{x^{2}} (2 x) + \frac{d}{d x} (11 x)$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [11 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $11$ является константой относительно $x$ , производная $11 x$ по $x$ равна $11 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = e^{x^{2}} (2 x) + 11 \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = e^{x^{2}} (2 x) + 11 \cdot 1$

Этап 1.3.3

Умножим $11$ на $1$ .

$f' (x) = e^{x^{2}} (2 x) + 11$

Этап 1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Изменим порядок членов.

$f' (x) = 2 e^{x^{2}} x + 11$

Этап 1.4.2

Изменим порядок множителей в $2 e^{x^{2}} x + 11$ .

$f' (x) = 2 x e^{x^{2}} + 11$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $2 x e^{x^{2}} + 11$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [11]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 x e^{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (11)$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x e^{x^{2}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x e^{x^{2}}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x e^{x^{2}}]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x e^{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (11)$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = e^{x^{2}}$ .

$f'' (x) = 2 (x \frac{d}{d x} (e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (11)$

Этап 2.2.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2}$ .

$f'' (x) = 2 (x (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (x^{2})) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (11)$

Этап 2.2.3.2

$f'' (x) = 2 (x (e^{u} \frac{d}{d x} (x^{2})) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (11)$

Этап 2.2.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$f'' (x) = 2 (x (e^{x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (11)$

Этап 2.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = 2 (x (e^{x^{2}} (2 x)) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (11)$

Этап 2.2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (x (e^{x^{2}} (2 x)) + e^{x^{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (11)$

Этап 2.2.6

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = 2 (x \cdot x (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (11)$

Этап 2.2.7

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = 2 (x \cdot x (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (11)$

Этап 2.2.8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = 2 (x^{1 + 1} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (11)$

Этап 2.2.9

Добавим $1$ и $1$ .

$f'' (x) = 2 (x^{2} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (11)$

Этап 2.2.10

Перенесем $2$ влево от $e^{x^{2}}$ .

$f'' (x) = 2 (x^{2} (2 \cdot e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (11)$

Этап 2.2.11

Умножим $e^{x^{2}}$ на $1$ .

$f'' (x) = 2 (x^{2} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (11)$

Этап 2.3

Поскольку $11$ является константой относительно $x$ , производная $11$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 2 (x^{2} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}}) + 0$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = 2 (x^{2} (2 e^{x^{2}})) + 2 e^{x^{2}} + 0$

Этап 2.4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Умножим $2$ на $2$ .

$f'' (x) = 4 (x^{2} (e^{x^{2}})) + 2 e^{x^{2}} + 0$

Этап 2.4.2.2

Добавим $4 x^{2} e^{x^{2}} + 2 e^{x^{2}}$ и $0$ .

$f'' (x) = 4 x^{2} e^{x^{2}} + 2 e^{x^{2}}$

Этап 2.4.3

Изменим порядок членов.

$f'' (x) = 4 e^{x^{2}} x^{2} + 2 e^{x^{2}}$

Этап 2.4.4

Изменим порядок множителей в $4 e^{x^{2}} x^{2} + 2 e^{x^{2}}$ .

$f'' (x) = 4 x^{2} e^{x^{2}} + 2 e^{x^{2}}$

Этап 3

Найдем третью производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $4 x^{2} e^{x^{2}} + 2 e^{x^{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x^{2} e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [2 e^{x^{2}}]$ .

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{2} e^{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (2 e^{x^{2}})$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x^{2} e^{x^{2}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{2} e^{x^{2}}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x^{2}}]$ .

$f''' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{2} e^{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (2 e^{x^{2}})$

Этап 3.2.2

$f''' (x) = 4 (x^{2} \frac{d}{d x} (e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 e^{x^{2}})$

Этап 3.2.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $x^{2}$ .

$f''' (x) = 4 (x^{2} (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (x^{2})) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 e^{x^{2}})$

Этап 3.2.3.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ имеет вид $a^{u_{1}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$f''' (x) = 4 (x^{2} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 e^{x^{2}})$

Этап 3.2.3.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $x^{2}$ .

$f''' (x) = 4 (x^{2} (e^{x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 e^{x^{2}})$

Этап 3.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f''' (x) = 4 (x^{2} (e^{x^{2}} (2 x)) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 e^{x^{2}})$

Этап 3.2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f''' (x) = 4 (x^{2} (e^{x^{2}} (2 x)) + e^{x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 e^{x^{2}})$

Этап 3.2.6

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.6.1

Перенесем $x$ .

$f''' (x) = 4 (x \cdot x^{2} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 e^{x^{2}})$

Этап 3.2.6.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.6.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f''' (x) = 4 (x \cdot x^{2} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 e^{x^{2}})$

Этап 3.2.6.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f''' (x) = 4 (x^{1 + 2} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 e^{x^{2}})$

Этап 3.2.6.3

Добавим $1$ и $2$ .

$f''' (x) = 4 (x^{3} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 e^{x^{2}})$

Этап 3.2.7

Перенесем $2$ влево от $e^{x^{2}}$ .

$f''' (x) = 4 (x^{3} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 e^{x^{2}})$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 e^{x^{2}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 e^{x^{2}}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$ .

$f''' (x) = 4 (x^{3} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} (2 x)) + 2 \frac{d}{d x} (e^{x^{2}})$

Этап 3.3.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $x^{2}$ .

$f''' (x) = 4 (x^{3} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} (2 x)) + 2 (\frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Этап 3.3.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ имеет вид $a^{u_{2}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$f''' (x) = 4 (x^{3} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} (2 x)) + 2 (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Этап 3.3.2.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x^{2}$ .

$f''' (x) = 4 (x^{3} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} (2 x)) + 2 (e^{x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Этап 3.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f''' (x) = 4 (x^{3} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} (2 x)) + 2 (e^{x^{2}} (2 x))$

Этап 3.3.4

Умножим $2$ на $2$ .

$f''' (x) = 4 (x^{3} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} (2 x)) + 4 e^{x^{2}} x$

Этап 3.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f''' (x) = 4 (x^{3} (2 e^{x^{2}})) + 4 (e^{x^{2}} (2 x)) + 4 e^{x^{2}} x$

Этап 3.4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Умножим $2$ на $4$ .

$f''' (x) = 8 (x^{3} (e^{x^{2}})) + 4 (e^{x^{2}} (2 x)) + 4 e^{x^{2}} x$

Этап 3.4.2.2

Умножим $2$ на $4$ .

$f''' (x) = 8 x^{3} e^{x^{2}} + 8 (e^{x^{2}} (x)) + 4 e^{x^{2}} x$

Этап 3.4.2.3

Добавим $8 e^{x^{2}} x$ и $4 e^{x^{2}} x$ .

$f''' (x) = 8 x^{3} e^{x^{2}} + 12 e^{x^{2}} x$

Этап 3.4.3

Изменим порядок членов.

$f''' (x) = 8 e^{x^{2}} x^{3} + 12 e^{x^{2}} x$

Этап 3.4.4

Изменим порядок множителей в $8 e^{x^{2}} x^{3} + 12 e^{x^{2}} x$ .

$f''' (x) = 8 x^{3} e^{x^{2}} + 12 x e^{x^{2}}$

Этап 4

Найдем четвертую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

По правилу суммы производная $8 x^{3} e^{x^{2}} + 12 x e^{x^{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [8 x^{3} e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [12 x e^{x^{2}}]$ .

$f^{4} (x) = \frac{d}{d x} (8 x^{3} e^{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (12 x e^{x^{2}})$

Этап 4.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [8 x^{3} e^{x^{2}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8 x^{3} e^{x^{2}}$ по $x$ равна $8 \frac{d}{d x} [x^{3} e^{x^{2}}]$ .

$f^{4} (x) = 8 \frac{d}{d x} (x^{3} e^{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (12 x e^{x^{2}})$

Этап 4.2.2

$f^{4} (x) = 8 (x^{3} \frac{d}{d x} (e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{3})) + \frac{d}{d x} (12 x e^{x^{2}})$

Этап 4.2.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $x^{2}$ .

$f^{4} (x) = 8 (x^{3} (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (x^{2})) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{3})) + \frac{d}{d x} (12 x e^{x^{2}})$

Этап 4.2.3.2

$f^{4} (x) = 8 (x^{3} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{3})) + \frac{d}{d x} (12 x e^{x^{2}})$

Этап 4.2.3.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $x^{2}$ .

$f^{4} (x) = 8 (x^{3} (e^{x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{3})) + \frac{d}{d x} (12 x e^{x^{2}})$

Этап 4.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f^{4} (x) = 8 (x^{3} (e^{x^{2}} (2 x)) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{3})) + \frac{d}{d x} (12 x e^{x^{2}})$

Этап 4.2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f^{4} (x) = 8 (x^{3} (e^{x^{2}} (2 x)) + e^{x^{2}} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (12 x e^{x^{2}})$

Этап 4.2.6

Умножим $x^{3}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.1

Перенесем $x$ .

$f^{4} (x) = 8 (x \cdot x^{3} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (12 x e^{x^{2}})$

Этап 4.2.6.2

Умножим $x$ на $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f^{4} (x) = 8 (x \cdot x^{3} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (12 x e^{x^{2}})$

Этап 4.2.6.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f^{4} (x) = 8 (x^{1 + 3} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (12 x e^{x^{2}})$

Этап 4.2.6.3

Добавим $1$ и $3$ .

$f^{4} (x) = 8 (x^{4} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (12 x e^{x^{2}})$

Этап 4.2.7

Перенесем $2$ влево от $e^{x^{2}}$ .

$f^{4} (x) = 8 (x^{4} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (12 x e^{x^{2}})$

Этап 4.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [12 x e^{x^{2}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Поскольку $12$ является константой относительно $x$ , производная $12 x e^{x^{2}}$ по $x$ равна $12 \frac{d}{d x} [x e^{x^{2}}]$ .

$f^{4} (x) = 8 (x^{4} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} (3 x^{2})) + 12 \frac{d}{d x} (x e^{x^{2}})$

Этап 4.3.2

$f^{4} (x) = 8 (x^{4} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} (3 x^{2})) + 12 (x \frac{d}{d x} (e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Этап 4.3.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $x^{2}$ .

$f^{4} (x) = 8 (x^{4} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} (3 x^{2})) + 12 (x (\frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (x^{2})) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Этап 4.3.3.2

$f^{4} (x) = 8 (x^{4} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} (3 x^{2})) + 12 (x (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Этап 4.3.3.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x^{2}$ .

$f^{4} (x) = 8 (x^{4} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} (3 x^{2})) + 12 (x (e^{x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Этап 4.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f^{4} (x) = 8 (x^{4} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} (3 x^{2})) + 12 (x (e^{x^{2}} (2 x)) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Этап 4.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f^{4} (x) = 8 (x^{4} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} (3 x^{2})) + 12 (x (e^{x^{2}} (2 x)) + e^{x^{2}} \cdot 1)$

Этап 4.3.6

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f^{4} (x) = 8 (x^{4} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} (3 x^{2})) + 12 (x \cdot x (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} \cdot 1)$

Этап 4.3.7

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f^{4} (x) = 8 (x^{4} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} (3 x^{2})) + 12 (x \cdot x (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} \cdot 1)$

Этап 4.3.8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f^{4} (x) = 8 (x^{4} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} (3 x^{2})) + 12 (x^{1 + 1} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} \cdot 1)$

Этап 4.3.9

Добавим $1$ и $1$ .

$f^{4} (x) = 8 (x^{4} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} (3 x^{2})) + 12 (x^{2} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} \cdot 1)$

Этап 4.3.10

Перенесем $2$ влево от $e^{x^{2}}$ .

$f^{4} (x) = 8 (x^{4} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} (3 x^{2})) + 12 (x^{2} (2 \cdot e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} \cdot 1)$

Этап 4.3.11

Умножим $e^{x^{2}}$ на $1$ .

$f^{4} (x) = 8 (x^{4} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} (3 x^{2})) + 12 (x^{2} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}})$

Этап 4.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{4} (x) = 8 (x^{4} (2 e^{x^{2}})) + 8 (e^{x^{2}} (3 x^{2})) + 12 (x^{2} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}})$

Этап 4.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{4} (x) = 8 (x^{4} (2 e^{x^{2}})) + 8 (e^{x^{2}} (3 x^{2})) + 12 (x^{2} (2 e^{x^{2}})) + 12 e^{x^{2}}$

Этап 4.4.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.3.1

Умножим $2$ на $8$ .

$f^{4} (x) = 16 (x^{4} (e^{x^{2}})) + 8 (e^{x^{2}} (3 x^{2})) + 12 (x^{2} (2 e^{x^{2}})) + 12 e^{x^{2}}$

Этап 4.4.3.2

Умножим $3$ на $8$ .

$f^{4} (x) = 16 x^{4} e^{x^{2}} + 24 (e^{x^{2}} (x^{2})) + 12 (x^{2} (2 e^{x^{2}})) + 12 e^{x^{2}}$

Этап 4.4.3.3

Умножим $2$ на $12$ .

$f^{4} (x) = 16 x^{4} e^{x^{2}} + 24 e^{x^{2}} x^{2} + 24 (x^{2} (e^{x^{2}})) + 12 e^{x^{2}}$

Этап 4.4.3.4

Добавим $24 e^{x^{2}} x^{2}$ и $24 x^{2} e^{x^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.3.4.1

Перенесем $e^{x^{2}}$ .

$f^{4} (x) = 16 x^{4} e^{x^{2}} + 24 x^{2} e^{x^{2}} + 24 x^{2} e^{x^{2}} + 12 e^{x^{2}}$

Этап 4.4.3.4.2

Добавим $24 x^{2} e^{x^{2}}$ и $24 x^{2} e^{x^{2}}$ .

$f^{4} (x) = 16 x^{4} e^{x^{2}} + 48 x^{2} e^{x^{2}} + 12 e^{x^{2}}$

Этап 4.4.4

Изменим порядок членов.

$f^{4} (x) = 16 e^{x^{2}} x^{4} + 48 e^{x^{2}} x^{2} + 12 e^{x^{2}}$

Этап 4.4.5

Изменим порядок множителей в $16 e^{x^{2}} x^{4} + 48 e^{x^{2}} x^{2} + 12 e^{x^{2}}$ .

$f^{4} (x) = 16 x^{4} e^{x^{2}} + 48 x^{2} e^{x^{2}} + 12 e^{x^{2}}$