Математический анализ Примеры

$y = 4 x - \ln (x)$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $4 x - \ln (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Этап 1.2.3

Умножим $4$ на $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- \ln (x)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$4 - \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Этап 1.3.2

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$4 - \frac{1}{x}$

Этап 1.4

Изменим порядок членов.

$f' (x) = - \frac{1}{x} + 4$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $- \frac{1}{x} + 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = - 1$ и $g (x) = \frac{1}{x}$ .

$- \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 2.2.2

Перепишем $\frac{1}{x}$ в виде $x^{- 1}$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 2.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$- - x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 2.2.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$- - x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 2.2.5

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 2.2.6

Умножим $x^{- 2}$ на $1$ .

$x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 2.2.7

Умножим $\frac{1}{x}$ на $0$ .

$x^{- 2} + 0 + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 2.2.8

Добавим $x^{- 2}$ и $0$ .

$x^{- 2} + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 2.3

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$x^{- 2} + 0$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{2}} + 0$

Этап 2.4.2

Добавим $\frac{1}{x^{2}}$ и $0$ .

$f'' (x) = \frac{1}{x^{2}}$

Этап 3

Найдем третью производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Перепишем $\frac{1}{x^{2}}$ в виде ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

Этап 3.1.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2 \cdot - 1}]$

Этап 3.1.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 2$ .

$- 2 x^{- 3}$

Этап 3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{x^{3}}$

Этап 3.3.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{- 2}{x^{3}}$

Этап 3.3.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f''' (x) = - \frac{2}{x^{3}}$

Этап 4

Найдем четвертую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{2}{x^{3}}$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Этап 4.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Перепишем $\frac{1}{x^{3}}$ в виде ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]$

Этап 4.2.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{3})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x^{3 \cdot - 1}]$

Этап 4.2.2.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

Этап 4.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 3$ .

$- 2 (- 3 x^{- 4})$

Этап 4.4

Умножим $- 3$ на $- 2$ .

$6 x^{- 4}$

Этап 4.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$6 \frac{1}{x^{4}}$

Этап 4.5.2

Объединим $6$ и $\frac{1}{x^{4}}$ .

$f^{4} (x) = \frac{6}{x^{4}}$