Математический анализ Примеры

$y = 7 \cot (x)$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $7 \cot (x)$ по $x$ равна $7 \frac{d}{d x} [\cot (x)]$ .

$7 \frac{d}{d x} [\cot (x)]$

Этап 1.2

Производная $\cot (x)$ по $x$ равна $- \csc^{2} (x)$ .

$7 (- \csc^{2} (x))$

Этап 1.3

Умножим $- 1$ на $7$ .

$f' (x) = - 7 \csc^{2} (x)$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $- 7$ является константой относительно $x$ , производная $- 7 \csc^{2} (x)$ по $x$ равна $- 7 \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)]$ .

$- 7 \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = \csc (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\csc (x)$ .

$- 7 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- 7 (2 u \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

Этап 2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $\csc (x)$ .

$- 7 (2 \csc (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

Этап 2.3

Умножим $2$ на $- 7$ .

$- 14 (\csc (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

Этап 2.4

Производная $\csc (x)$ по $x$ равна $- \csc (x) \cot (x)$ .

$- 14 \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))$

Этап 2.5

Умножим $- 1$ на $- 14$ .

$14 \csc (x) (\csc (x) \cot (x))$

Этап 2.6

Возведем $\csc (x)$ в степень $1$ .

$14 (\csc^{1} (x) \csc (x)) \cot (x)$

Этап 2.7

Возведем $\csc (x)$ в степень $1$ .

$14 (\csc^{1} (x) \csc^{1} (x)) \cot (x)$

Этап 2.8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$14 {\csc (x)}^{1 + 1} \cot (x)$

Этап 2.9

Добавим $1$ и $1$ .

$f'' (x) = 14 \csc^{2} (x) \cot (x)$

Этап 3

Найдем третью производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $14$ является константой относительно $x$ , производная $14 \csc^{2} (x) \cot (x)$ по $x$ равна $14 \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x) \cot (x)]$ .

$14 \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x) \cot (x)]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = \csc^{2} (x)$ и $g (x) = \cot (x)$ .

$14 (\csc^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)] + \cot (x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)])$

Этап 3.3

Производная $\cot (x)$ по $x$ равна $- \csc^{2} (x)$ .

$14 (\csc^{2} (x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)])$

Этап 3.4

Умножим $\csc^{2} (x)$ на $\csc^{2} (x)$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Перенесем $\csc^{2} (x)$ .

$14 (\csc^{2} (x) \csc^{2} (x) \cdot - 1 + \cot (x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)])$

Этап 3.4.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$14 ({\csc (x)}^{2 + 2} \cdot - 1 + \cot (x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)])$

Этап 3.4.3

Добавим $2$ и $2$ .

$14 (\csc^{4} (x) \cdot - 1 + \cot (x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)])$

Этап 3.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Перенесем $- 1$ влево от $\csc^{4} (x)$ .

$14 (- 1 \cdot \csc^{4} (x) + \cot (x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)])$

Этап 3.5.2

Перепишем $- 1 \csc^{4} (x)$ в виде $- \csc^{4} (x)$ .

$14 (- \csc^{4} (x) + \cot (x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)])$

Этап 3.6

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\csc (x)$ .

$14 (- \csc^{4} (x) + \cot (x) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\csc (x)]))$

Этап 3.6.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$14 (- \csc^{4} (x) + \cot (x) (2 u \frac{d}{d x} [\csc (x)]))$

Этап 3.6.3

Заменим все вхождения $u$ на $\csc (x)$ .

$14 (- \csc^{4} (x) + \cot (x) (2 \csc (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)]))$

Этап 3.7

Перенесем $2$ влево от $\cot (x)$ .

$14 (- \csc^{4} (x) + 2 \cdot \cot (x) \csc (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

Этап 3.8

Производная $\csc (x)$ по $x$ равна $- \csc (x) \cot (x)$ .

$14 (- \csc^{4} (x) + 2 \cot (x) \csc (x) (- \csc (x) \cot (x)))$

Этап 3.9

Умножим $- 1$ на $2$ .

$14 (- \csc^{4} (x) - 2 \cot (x) \csc (x) (\csc (x) \cot (x)))$

Этап 3.10

Возведем $\cot (x)$ в степень $1$ .

$14 (- \csc^{4} (x) - 2 (\cot^{1} (x) \cot (x)) \csc (x) \csc (x))$

Этап 3.11

Возведем $\cot (x)$ в степень $1$ .

$14 (- \csc^{4} (x) - 2 (\cot^{1} (x) \cot^{1} (x)) \csc (x) \csc (x))$

Этап 3.12

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$14 (- \csc^{4} (x) - 2 {\cot (x)}^{1 + 1} \csc (x) \csc (x))$

Этап 3.13

Добавим $1$ и $1$ .

$14 (- \csc^{4} (x) - 2 \cot^{2} (x) \csc (x) \csc (x))$

Этап 3.14

Возведем $\csc (x)$ в степень $1$ .

$14 (- \csc^{4} (x) - 2 \cot^{2} (x) (\csc^{1} (x) \csc (x)))$

Этап 3.15

Возведем $\csc (x)$ в степень $1$ .

$14 (- \csc^{4} (x) - 2 \cot^{2} (x) (\csc^{1} (x) \csc^{1} (x)))$

Этап 3.16

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$14 (- \csc^{4} (x) - 2 \cot^{2} (x) {\csc (x)}^{1 + 1})$

Этап 3.17

Добавим $1$ и $1$ .

$14 (- \csc^{4} (x) - 2 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x))$

Этап 3.18

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.18.1

Применим свойство дистрибутивности.

$14 (- \csc^{4} (x)) + 14 (- 2 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x))$

Этап 3.18.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.18.2.1

Умножим $- 1$ на $14$ .

$- 14 \csc^{4} (x) + 14 (- 2 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x))$

Этап 3.18.2.2

Умножим $- 2$ на $14$ .

$- 14 \csc^{4} (x) - 28 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x)$

Этап 3.18.3

Изменим порядок членов.

$f''' (x) = - 28 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x) - 14 \csc^{4} (x)$

Этап 4

Найдем четвертую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

По правилу суммы производная $- 28 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x) - 14 \csc^{4} (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 28 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- 14 \csc^{4} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- 28 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- 14 \csc^{4} (x)]$

Этап 4.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 28 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Поскольку $- 28$ является константой относительно $x$ , производная $- 28 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x)$ по $x$ равна $- 28 \frac{d}{d x} [\cot^{2} (x) \csc^{2} (x)]$ .

$- 28 \frac{d}{d x} [\cot^{2} (x) \csc^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- 14 \csc^{4} (x)]$

Этап 4.2.2

$- 28 (\cot^{2} (x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)] + \csc^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cot^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [- 14 \csc^{4} (x)]$

Этап 4.2.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\csc (x)$ .

$- 28 (\cot^{2} (x) (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\csc (x)]) + \csc^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cot^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [- 14 \csc^{4} (x)]$

Этап 4.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- 28 (\cot^{2} (x) (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\csc (x)]) + \csc^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cot^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [- 14 \csc^{4} (x)]$

Этап 4.2.3.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\csc (x)$ .

$- 28 (\cot^{2} (x) (2 \csc (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)]) + \csc^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cot^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [- 14 \csc^{4} (x)]$

Этап 4.2.4

Производная $\csc (x)$ по $x$ равна $- \csc (x) \cot (x)$ .

$- 28 (\cot^{2} (x) (2 \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))) + \csc^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cot^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [- 14 \csc^{4} (x)]$

Этап 4.2.5

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $\cot (x)$ .

$- 28 (\cot^{2} (x) (2 \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))) + \csc^{2} (x) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cot (x)])) + \frac{d}{d x} [- 14 \csc^{4} (x)]$

Этап 4.2.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- 28 (\cot^{2} (x) (2 \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))) + \csc^{2} (x) (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\cot (x)])) + \frac{d}{d x} [- 14 \csc^{4} (x)]$

Этап 4.2.5.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $\cot (x)$ .

$- 28 (\cot^{2} (x) (2 \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))) + \csc^{2} (x) (2 \cot (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)])) + \frac{d}{d x} [- 14 \csc^{4} (x)]$

Этап 4.2.6

Производная $\cot (x)$ по $x$ равна $- \csc^{2} (x)$ .

$- 28 (\cot^{2} (x) (2 \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))) + \csc^{2} (x) (2 \cot (x) (- \csc^{2} (x)))) + \frac{d}{d x} [- 14 \csc^{4} (x)]$

Этап 4.2.7

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- 28 (\cot^{2} (x) (- 2 \csc (x) (\csc (x) \cot (x))) + \csc^{2} (x) (2 \cot (x) (- \csc^{2} (x)))) + \frac{d}{d x} [- 14 \csc^{4} (x)]$

Этап 4.2.8

Возведем $\csc (x)$ в степень $1$ .

$- 28 (\cot^{2} (x) (- 2 (\csc^{1} (x) \csc (x)) \cot (x)) + \csc^{2} (x) (2 \cot (x) (- \csc^{2} (x)))) + \frac{d}{d x} [- 14 \csc^{4} (x)]$

Этап 4.2.9

Возведем $\csc (x)$ в степень $1$ .

$- 28 (\cot^{2} (x) (- 2 (\csc^{1} (x) \csc^{1} (x)) \cot (x)) + \csc^{2} (x) (2 \cot (x) (- \csc^{2} (x)))) + \frac{d}{d x} [- 14 \csc^{4} (x)]$

Этап 4.2.10

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 28 (\cot^{2} (x) (- 2 {\csc (x)}^{1 + 1} \cot (x)) + \csc^{2} (x) (2 \cot (x) (- \csc^{2} (x)))) + \frac{d}{d x} [- 14 \csc^{4} (x)]$

Этап 4.2.11

Добавим $1$ и $1$ .

$- 28 (\cot^{2} (x) (- 2 \csc^{2} (x) \cot (x)) + \csc^{2} (x) (2 \cot (x) (- \csc^{2} (x)))) + \frac{d}{d x} [- 14 \csc^{4} (x)]$

Этап 4.2.12

Умножим $\cot^{2} (x)$ на $\cot (x)$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.12.1

Перенесем $\cot (x)$ .

$- 28 (\cot (x) \cot^{2} (x) (- 2 \csc^{2} (x)) + \csc^{2} (x) (2 \cot (x) (- \csc^{2} (x)))) + \frac{d}{d x} [- 14 \csc^{4} (x)]$

Этап 4.2.12.2

Умножим $\cot (x)$ на $\cot^{2} (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.12.2.1

Возведем $\cot (x)$ в степень $1$ .

$- 28 (\cot^{1} (x) \cot^{2} (x) (- 2 \csc^{2} (x)) + \csc^{2} (x) (2 \cot (x) (- \csc^{2} (x)))) + \frac{d}{d x} [- 14 \csc^{4} (x)]$

Этап 4.2.12.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 28 ({\cot (x)}^{1 + 2} (- 2 \csc^{2} (x)) + \csc^{2} (x) (2 \cot (x) (- \csc^{2} (x)))) + \frac{d}{d x} [- 14 \csc^{4} (x)]$

Этап 4.2.12.3

Добавим $1$ и $2$ .

$- 28 (\cot^{3} (x) (- 2 \csc^{2} (x)) + \csc^{2} (x) (2 \cot (x) (- \csc^{2} (x)))) + \frac{d}{d x} [- 14 \csc^{4} (x)]$

Этап 4.2.13

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- 28 (\cot^{3} (x) (- 2 \csc^{2} (x)) + \csc^{2} (x) (- 2 \cot (x) \csc^{2} (x))) + \frac{d}{d x} [- 14 \csc^{4} (x)]$

Этап 4.2.14

Умножим $\csc^{2} (x)$ на $\csc^{2} (x)$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.14.1

Перенесем $\csc^{2} (x)$ .

$- 28 (\cot^{3} (x) (- 2 \csc^{2} (x)) + \csc^{2} (x) \csc^{2} (x) (- 2 \cot (x))) + \frac{d}{d x} [- 14 \csc^{4} (x)]$

Этап 4.2.14.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 28 (\cot^{3} (x) (- 2 \csc^{2} (x)) + {\csc (x)}^{2 + 2} (- 2 \cot (x))) + \frac{d}{d x} [- 14 \csc^{4} (x)]$

Этап 4.2.14.3

Добавим $2$ и $2$ .

$- 28 (\cot^{3} (x) (- 2 \csc^{2} (x)) + \csc^{4} (x) (- 2 \cot (x))) + \frac{d}{d x} [- 14 \csc^{4} (x)]$

Этап 4.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 14 \csc^{4} (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Поскольку $- 14$ является константой относительно $x$ , производная $- 14 \csc^{4} (x)$ по $x$ равна $- 14 \frac{d}{d x} [\csc^{4} (x)]$ .

$- 28 (\cot^{3} (x) (- 2 \csc^{2} (x)) + \csc^{4} (x) (- 2 \cot (x))) - 14 \frac{d}{d x} [\csc^{4} (x)]$

Этап 4.3.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{3}$ как $\csc (x)$ .

$- 28 (\cot^{3} (x) (- 2 \csc^{2} (x)) + \csc^{4} (x) (- 2 \cot (x))) - 14 (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{4}] \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

Этап 4.3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{3}}^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$- 28 (\cot^{3} (x) (- 2 \csc^{2} (x)) + \csc^{4} (x) (- 2 \cot (x))) - 14 (4 {u_{3}}^{3} \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

Этап 4.3.2.3

Заменим все вхождения $u_{3}$ на $\csc (x)$ .

$- 28 (\cot^{3} (x) (- 2 \csc^{2} (x)) + \csc^{4} (x) (- 2 \cot (x))) - 14 (4 \csc^{3} (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

Этап 4.3.3

Производная $\csc (x)$ по $x$ равна $- \csc (x) \cot (x)$ .

$- 28 (\cot^{3} (x) (- 2 \csc^{2} (x)) + \csc^{4} (x) (- 2 \cot (x))) - 14 (4 \csc^{3} (x) (- \csc (x) \cot (x)))$

Этап 4.3.4

Умножим $- 1$ на $4$ .

$- 28 (\cot^{3} (x) (- 2 \csc^{2} (x)) + \csc^{4} (x) (- 2 \cot (x))) - 14 (- 4 \csc^{3} (x) (\csc (x) \cot (x)))$

Этап 4.3.5

Возведем $\csc (x)$ в степень $1$ .

$- 28 (\cot^{3} (x) (- 2 \csc^{2} (x)) + \csc^{4} (x) (- 2 \cot (x))) - 14 (- 4 (\csc^{1} (x) \csc^{3} (x)) \cot (x))$

Этап 4.3.6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 28 (\cot^{3} (x) (- 2 \csc^{2} (x)) + \csc^{4} (x) (- 2 \cot (x))) - 14 (- 4 {\csc (x)}^{1 + 3} \cot (x))$

Этап 4.3.7

Добавим $1$ и $3$ .

$- 28 (\cot^{3} (x) (- 2 \csc^{2} (x)) + \csc^{4} (x) (- 2 \cot (x))) - 14 (- 4 \csc^{4} (x) \cot (x))$

Этап 4.3.8

Умножим $- 4$ на $- 14$ .

$- 28 (\cot^{3} (x) (- 2 \csc^{2} (x)) + \csc^{4} (x) (- 2 \cot (x))) + 56 \csc^{4} (x) \cot (x)$

Этап 4.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 28 (\cot^{3} (x) (- 2 \csc^{2} (x))) - 28 (\csc^{4} (x) (- 2 \cot (x))) + 56 \csc^{4} (x) \cot (x)$

Этап 4.4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Умножим $- 2$ на $- 28$ .

$56 (\cot^{3} (x) (\csc^{2} (x))) - 28 (\csc^{4} (x) (- 2 \cot (x))) + 56 \csc^{4} (x) \cot (x)$

Этап 4.4.2.2

Умножим $- 2$ на $- 28$ .

$56 \cot^{3} (x) \csc^{2} (x) + 56 (\csc^{4} (x) (\cot (x))) + 56 \csc^{4} (x) \cot (x)$

Этап 4.4.2.3

Добавим $56 \csc^{4} (x) \cot (x)$ и $56 \csc^{4} (x) \cot (x)$ .

$f^{4} (x) = 56 \cot^{3} (x) \csc^{2} (x) + 112 \csc^{4} (x) \cot (x)$