Математический анализ Примеры

$y = \frac{x + 2}{x - 3}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x + 2$ и $g (x) = x - 3$ .

$f' (x) = \frac{(x - 3) \frac{d}{d x} (x + 2) - (x + 2) \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

По правилу суммы производная $x + 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$f' (x) = \frac{(x - 3) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (2)) - (x + 2) \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{(x - 3) (1 + \frac{d}{d x} (2)) - (x + 2) \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 1.2.3

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = \frac{(x - 3) (1 + 0) - (x + 2) \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 1.2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$f' (x) = \frac{(x - 3) \cdot 1 - (x + 2) \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 1.2.4.2

Умножим $x - 3$ на $1$ .

$f' (x) = \frac{x - 3 - (x + 2) \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 1.2.5

По правилу суммы производная $x - 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f' (x) = \frac{x - 3 - (x + 2) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3))}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 1.2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{x - 3 - (x + 2) (1 + \frac{d}{d x} (- 3))}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 1.2.7

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = \frac{x - 3 - (x + 2) (1 + 0)}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 1.2.8

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.1

Добавим $1$ и $0$ .

$f' (x) = \frac{x - 3 - (x + 2) \cdot 1}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 1.2.8.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f' (x) = \frac{x - 3 - (x + 2)}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = \frac{x - 3 - x - 1 \cdot 2}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 1.3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Объединим противоположные члены в $x - 3 - x - 1 \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1.1

Вычтем $x$ из $x$ .

$f' (x) = \frac{0 - 3 - 1 \cdot 2}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 1.3.2.1.2

Вычтем $3$ из $0$ .

$f' (x) = \frac{- 3 - 1 \cdot 2}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 1.3.2.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f' (x) = \frac{- 3 - 2}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 1.3.2.3

Вычтем $2$ из $- 3$ .

$f' (x) = \frac{- 5}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 1.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = - \frac{5}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{5}{{(x - 3)}^{2}}$ по $x$ равна $- 5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x - 3)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = - 5 \frac{d}{d x} \frac{1}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 2.1.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Перепишем $\frac{1}{{(x - 3)}^{2}}$ в виде ${({(x - 3)}^{2})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = - 5 \frac{d}{d x} {({(x - 3)}^{2})}^{- 1}$

Этап 2.1.2.2

Перемножим экспоненты в ${({(x - 3)}^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 5 \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{2 \cdot - 1}$

Этап 2.1.2.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f'' (x) = - 5 \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{- 2}$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 2}$ и $g (x) = x - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x - 3$ .

$f'' (x) = - 5 (\frac{d}{d u} (u^{- 2}) \frac{d}{d x} (x - 3))$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 2$ .

$f'' (x) = - 5 (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} (x - 3))$

Этап 2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x - 3$ .

$f'' (x) = - 5 (- 2 {(x - 3)}^{- 3} \frac{d}{d x} (x - 3))$

Этап 2.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим $- 2$ на $- 5$ .

$f'' (x) = 10 ({(x - 3)}^{- 3} \frac{d}{d x} (x - 3))$

Этап 2.3.2

По правилу суммы производная $x - 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f'' (x) = 10 {(x - 3)}^{- 3} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3))$

Этап 2.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 10 {(x - 3)}^{- 3} (1 + \frac{d}{d x} (- 3))$

Этап 2.3.4

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 10 {(x - 3)}^{- 3} (1 + 0)$

Этап 2.3.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Добавим $1$ и $0$ .

$f'' (x) = 10 {(x - 3)}^{- 3} \cdot 1$

Этап 2.3.5.2

Умножим $10$ на $1$ .

$f'' (x) = 10 {(x - 3)}^{- 3}$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 10 (\frac{1}{{(x - 3)}^{3}})$

Этап 2.4.2

Объединим $10$ и $\frac{1}{{(x - 3)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{10}{{(x - 3)}^{3}}$

Этап 3

Найдем третью производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Поскольку $10$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{10}{{(x - 3)}^{3}}$ по $x$ равна $10 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x - 3)}^{3}}]$ .

$f''' (x) = 10 \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(x - 3)}^{3}})$

Этап 3.1.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Перепишем $\frac{1}{{(x - 3)}^{3}}$ в виде ${({(x - 3)}^{3})}^{- 1}$ .

$f''' (x) = 10 \frac{d}{d x} ({({(x - 3)}^{3})}^{- 1})$

Этап 3.1.2.2

Перемножим экспоненты в ${({(x - 3)}^{3})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f''' (x) = 10 \frac{d}{d x} ({(x - 3)}^{3 \cdot - 1})$

Этап 3.1.2.2.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$f''' (x) = 10 \frac{d}{d x} ({(x - 3)}^{- 3})$

Этап 3.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x - 3$ .

$f''' (x) = 10 (\frac{d}{d u} (u^{- 3}) \frac{d}{d x} (x - 3))$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 3$ .

$f''' (x) = 10 (- 3 u^{- 4} \frac{d}{d x} (x - 3))$

Этап 3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x - 3$ .

$f''' (x) = 10 (- 3 {(x - 3)}^{- 4} \frac{d}{d x} (x - 3))$

Этап 3.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим $- 3$ на $10$ .

$f''' (x) = - 30 ({(x - 3)}^{- 4} \frac{d}{d x} (x - 3))$

Этап 3.3.2

По правилу суммы производная $x - 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f''' (x) = - 30 {(x - 3)}^{- 4} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3))$

Этап 3.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f''' (x) = - 30 {(x - 3)}^{- 4} (1 + \frac{d}{d x} (- 3))$

Этап 3.3.4

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3$ относительно $x$ равна $0$ .

$f''' (x) = - 30 {(x - 3)}^{- 4} (1 + 0)$

Этап 3.3.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.1

Добавим $1$ и $0$ .

$f''' (x) = - 30 {(x - 3)}^{- 4} \cdot 1$

Этап 3.3.5.2

Умножим $- 30$ на $1$ .

$f''' (x) = - 30 {(x - 3)}^{- 4}$

Этап 3.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f''' (x) = - 30 \frac{1}{{(x - 3)}^{4}}$

Этап 3.4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Объединим $- 30$ и $\frac{1}{{(x - 3)}^{4}}$ .

$f''' (x) = \frac{- 30}{{(x - 3)}^{4}}$

Этап 3.4.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f''' (x) = - \frac{30}{{(x - 3)}^{4}}$

Этап 4

Найдем четвертую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Поскольку $- 30$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{30}{{(x - 3)}^{4}}$ по $x$ равна $- 30 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x - 3)}^{4}}]$ .

$f^{4} (x) = - 30 \frac{d}{d x} \frac{1}{{(x - 3)}^{4}}$

Этап 4.1.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Перепишем $\frac{1}{{(x - 3)}^{4}}$ в виде ${({(x - 3)}^{4})}^{- 1}$ .

$f^{4} (x) = - 30 \frac{d}{d x} {({(x - 3)}^{4})}^{- 1}$

Этап 4.1.2.2

Перемножим экспоненты в ${({(x - 3)}^{4})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{4} (x) = - 30 \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{4 \cdot - 1}$

Этап 4.1.2.2.2

Умножим $4$ на $- 1$ .

$f^{4} (x) = - 30 \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{- 4}$

Этап 4.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x - 3$ .

$f^{4} (x) = - 30 (\frac{d}{d u} (u^{- 4}) \frac{d}{d x} (x - 3))$

Этап 4.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 4$ .

$f^{4} (x) = - 30 (- 4 u^{- 5} \frac{d}{d x} (x - 3))$

Этап 4.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x - 3$ .

$f^{4} (x) = - 30 (- 4 {(x - 3)}^{- 5} \frac{d}{d x} (x - 3))$

Этап 4.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Умножим $- 4$ на $- 30$ .

$f^{4} (x) = 120 ({(x - 3)}^{- 5} \frac{d}{d x} (x - 3))$

Этап 4.3.2

По правилу суммы производная $x - 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f^{4} (x) = 120 {(x - 3)}^{- 5} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3))$

Этап 4.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f^{4} (x) = 120 {(x - 3)}^{- 5} (1 + \frac{d}{d x} (- 3))$

Этап 4.3.4

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3$ относительно $x$ равна $0$ .

$f^{4} (x) = 120 {(x - 3)}^{- 5} (1 + 0)$

Этап 4.3.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.1

Добавим $1$ и $0$ .

$f^{4} (x) = 120 {(x - 3)}^{- 5} \cdot 1$

Этап 4.3.5.2

Умножим $120$ на $1$ .

$f^{4} (x) = 120 {(x - 3)}^{- 5}$

Этап 4.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f^{4} (x) = 120 (\frac{1}{{(x - 3)}^{5}})$

Этап 4.4.2

Объединим $120$ и $\frac{1}{{(x - 3)}^{5}}$ .

$f^{4} (x) = \frac{120}{{(x - 3)}^{5}}$