Математический анализ Примеры

$y = x^{2} \ln (8 x)$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = \ln (8 x)$ .

$f' (x) = x^{2} \frac{d}{d x} (\ln (8 x)) + \ln (8 x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = 8 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $8 x$ .

$f' (x) = x^{2} (\frac{d}{d u} (\ln (u)) \frac{d}{d x} (8 x)) + \ln (8 x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Этап 1.2.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$f' (x) = x^{2} (\frac{1}{u} \cdot \frac{d}{d x} (8 x)) + \ln (8 x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Этап 1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $8 x$ .

$f' (x) = x^{2} (\frac{1}{8 x} \cdot \frac{d}{d x} (8 x)) + \ln (8 x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Этап 1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Объединим $\frac{1}{8 x}$ и $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{x^{2}}{8 x} \cdot \frac{d}{d x} (8 x) + \ln (8 x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Этап 1.3.2

Сократим общий множитель $x^{2}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{x \cdot x}{8 x} \cdot \frac{d}{d x} (8 x) + \ln (8 x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Этап 1.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.2.1

Вынесем множитель $x$ из $8 x$ .

$f' (x) = \frac{x \cdot x}{x \cdot 8} \cdot \frac{d}{d x} (8 x) + \ln (8 x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Этап 1.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$f' (x) = \frac{x \cdot x}{x \cdot 8} \cdot \frac{d}{d x} (8 x) + \ln (8 x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Этап 1.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$f' (x) = \frac{x}{8} \cdot \frac{d}{d x} (8 x) + \ln (8 x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Этап 1.3.3

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8 x$ по $x$ равна $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = \frac{x}{8} \cdot (8 \frac{d}{d x} (x)) + \ln (8 x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Этап 1.3.4

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

Объединим $8$ и $\frac{x}{8}$ .

$f' (x) = \frac{8 x}{8} \cdot \frac{d}{d x} (x) + \ln (8 x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Этап 1.3.4.2

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.2.1

Сократим общий множитель.

$f' (x) = \frac{8 x}{8} \cdot \frac{d}{d x} (x) + \ln (8 x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Этап 1.3.4.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$f' (x) = x \frac{d}{d x} (x) + \ln (8 x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Этап 1.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = x \cdot 1 + \ln (8 x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Этап 1.3.6

Умножим $x$ на $1$ .

$f' (x) = x + \ln (8 x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Этап 1.3.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = x + \ln (8 x) (2 x)$

Этап 1.3.8

Изменим порядок членов.

$f' (x) = 2 x \ln (8 x) + x$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $2 x \ln (8 x) + x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x \ln (8 x)] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 x \ln (8 x)) + \frac{d}{d x} (x)$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x \ln (8 x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x \ln (8 x)$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x \ln (8 x)]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x \ln (8 x)) + \frac{d}{d x} (x)$

Этап 2.2.2

$f'' (x) = 2 (x \frac{d}{d x} (\ln (8 x)) + \ln (8 x) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

Этап 2.2.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $8 x$ .

$f'' (x) = 2 (x (\frac{d}{d u} (\ln (u)) \frac{d}{d x} (8 x)) + \ln (8 x) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

Этап 2.2.3.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$f'' (x) = 2 (x (\frac{1}{u} \cdot \frac{d}{d x} (8 x)) + \ln (8 x) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

Этап 2.2.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $8 x$ .

$f'' (x) = 2 (x (\frac{1}{8 x} \cdot \frac{d}{d x} (8 x)) + \ln (8 x) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

Этап 2.2.4

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8 x$ по $x$ равна $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 (x (\frac{1}{8 x} \cdot (8 \frac{d}{d x} (x))) + \ln (8 x) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

Этап 2.2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (x (\frac{1}{8 x} \cdot (8 \cdot 1)) + \ln (8 x) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

Этап 2.2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (x (\frac{1}{8 x} \cdot (8 \cdot 1)) + \ln (8 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

Этап 2.2.7

Умножим $8$ на $1$ .

$f'' (x) = 2 (x (\frac{1}{8 x} \cdot 8) + \ln (8 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

Этап 2.2.8

Объединим $\frac{1}{8 x}$ и $8$ .

$f'' (x) = 2 (x (\frac{8}{8 x}) + \ln (8 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

Этап 2.2.9

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.9.1

Сократим общий множитель.

$f'' (x) = 2 (x (\frac{8}{8 x}) + \ln (8 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

Этап 2.2.9.2

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = 2 (x (\frac{1}{x}) + \ln (8 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

Этап 2.2.10

Объединим $x$ и $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x}{x} + \ln (8 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

Этап 2.2.11

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.11.1

Сократим общий множитель.

$f'' (x) = 2 (\frac{x}{x} + \ln (8 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

Этап 2.2.11.2

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = 2 (1 + \ln (8 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

Этап 2.2.12

Умножим $\ln (8 x)$ на $1$ .

$f'' (x) = 2 (1 + \ln (8 x)) + \frac{d}{d x} (x)$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (1 + \ln (8 x)) + 1$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = 2 \cdot 1 + 2 \ln (8 x) + 1$

Этап 2.4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Умножим $2$ на $1$ .

$f'' (x) = 2 + 2 \ln (8 x) + 1$

Этап 2.4.2.2

Добавим $2$ и $1$ .

$f'' (x) = 2 \ln (8 x) + 3$

Этап 3

Найдем третью производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $2 \ln (8 x) + 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 \ln (8 x)] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (2 \ln (8 x)) + \frac{d}{d x} (3)$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 \ln (8 x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 \ln (8 x)$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [\ln (8 x)]$ .

$f''' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\ln (8 x)) + \frac{d}{d x} (3)$

Этап 3.2.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $8 x$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{d}{d u} (\ln (u)) \frac{d}{d x} (8 x)) + \frac{d}{d x} (3)$

Этап 3.2.2.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{1}{u} \cdot \frac{d}{d x} (8 x)) + \frac{d}{d x} (3)$

Этап 3.2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $8 x$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{1}{8 x} \cdot \frac{d}{d x} (8 x)) + \frac{d}{d x} (3)$

Этап 3.2.3

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8 x$ по $x$ равна $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{1}{8 x} \cdot (8 \frac{d}{d x} (x))) + \frac{d}{d x} (3)$

Этап 3.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{1}{8 x} \cdot (8 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} (3)$

Этап 3.2.5

Умножим $8$ на $1$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{1}{8 x} \cdot 8) + \frac{d}{d x} (3)$

Этап 3.2.6

Объединим $\frac{1}{8 x}$ и $8$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{8}{8 x}) + \frac{d}{d x} (3)$

Этап 3.2.7

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.7.1

Сократим общий множитель.

$f''' (x) = 2 (\frac{8}{8 x}) + \frac{d}{d x} (3)$

Этап 3.2.7.2

Перепишем это выражение.

$f''' (x) = 2 (\frac{1}{x}) + \frac{d}{d x} (3)$

Этап 3.2.8

Объединим $2$ и $\frac{1}{x}$ .

$f''' (x) = \frac{2}{x} + \frac{d}{d x} (3)$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$f''' (x) = \frac{2}{x} + 0$

Этап 3.3.2

Добавим $\frac{2}{x}$ и $0$ .

$f''' (x) = \frac{2}{x}$

Этап 4

Найдем четвертую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{2}{x}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$f^{4} (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

Этап 4.2

Перепишем $\frac{1}{x}$ в виде $x^{- 1}$ .

$f^{4} (x) = 2 \frac{d}{d x} (x^{- 1})$

Этап 4.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$f^{4} (x) = 2 (- x^{- 2})$

Этап 4.4

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f^{4} (x) = - 2 x^{- 2}$

Этап 4.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f^{4} (x) = - 2 \frac{1}{x^{2}}$

Этап 4.5.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{x^{2}}$ .

$f^{4} (x) = \frac{- 2}{x^{2}}$

Этап 4.5.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f^{4} (x) = - \frac{2}{x^{2}}$