Математический анализ Примеры

$f (x) = \ln (3 x - 1)$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = 3 x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $3 x - 1$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x - 1]$

Этап 1.1.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x - 1]$

Этап 1.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $3 x - 1$ .

$\frac{1}{3 x - 1} \frac{d}{d x} [3 x - 1]$

Этап 1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

По правилу суммы производная $3 x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{1}{3 x - 1} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 1.2.2

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3 x - 1} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 1.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{3 x - 1} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 1.2.4

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{1}{3 x - 1} (3 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 1.2.5

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{3 x - 1} (3 + 0)$

Этап 1.2.6

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Добавим $3$ и $0$ .

$\frac{1}{3 x - 1} \cdot 3$

Этап 1.2.6.2

Объединим $\frac{1}{3 x - 1}$ и $3$ .

$f' (x) = \frac{3}{3 x - 1}$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{3}{3 x - 1}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x - 1}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x - 1}]$

Этап 2.1.2

Перепишем $\frac{1}{3 x - 1}$ в виде ${(3 x - 1)}^{- 1}$ .

$3 \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{- 1}]$

Этап 2.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $3 x - 1$ .

$3 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [3 x - 1])$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$3 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [3 x - 1])$

Этап 2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $3 x - 1$ .

$3 (- {(3 x - 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [3 x - 1])$

Этап 2.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$- 3 ({(3 x - 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [3 x - 1])$

Этап 2.3.2

По правилу суммы производная $3 x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$- 3 {(3 x - 1)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 2.3.3

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 {(3 x - 1)}^{- 2} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 2.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 3 {(3 x - 1)}^{- 2} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 2.3.5

Умножим $3$ на $1$ .

$- 3 {(3 x - 1)}^{- 2} (3 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 2.3.6

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$- 3 {(3 x - 1)}^{- 2} (3 + 0)$

Этап 2.3.7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.1

Добавим $3$ и $0$ .

$- 3 {(3 x - 1)}^{- 2} \cdot 3$

Этап 2.3.7.2

Умножим $3$ на $- 3$ .

$- 9 {(3 x - 1)}^{- 2}$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 9 \frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Этап 2.4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Объединим $- 9$ и $\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}}$ .

$\frac{- 9}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Этап 2.4.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = - \frac{9}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Этап 3

Найдем третью производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Поскольку $- 9$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{9}{{(3 x - 1)}^{2}}$ по $x$ равна $- 9 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}}]$ .

$- 9 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}}]$

Этап 3.1.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Перепишем $\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}}$ в виде ${({(3 x - 1)}^{2})}^{- 1}$ .

$- 9 \frac{d}{d x} [{({(3 x - 1)}^{2})}^{- 1}]$

Этап 3.1.2.2

Перемножим экспоненты в ${({(3 x - 1)}^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 9 \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{2 \cdot - 1}]$

Этап 3.1.2.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 9 \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{- 2}]$

Этап 3.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $3 x - 1$ .

$- 9 (\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [3 x - 1])$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 2$ .

$- 9 (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [3 x - 1])$

Этап 3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $3 x - 1$ .

$- 9 (- 2 {(3 x - 1)}^{- 3} \frac{d}{d x} [3 x - 1])$

Этап 3.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим $- 2$ на $- 9$ .

$18 ({(3 x - 1)}^{- 3} \frac{d}{d x} [3 x - 1])$

Этап 3.3.2

По правилу суммы производная $3 x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$18 {(3 x - 1)}^{- 3} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 3.3.3

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$18 {(3 x - 1)}^{- 3} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 3.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$18 {(3 x - 1)}^{- 3} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 3.3.5

Умножим $3$ на $1$ .

$18 {(3 x - 1)}^{- 3} (3 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 3.3.6

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$18 {(3 x - 1)}^{- 3} (3 + 0)$

Этап 3.3.7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.7.1

Добавим $3$ и $0$ .

$18 {(3 x - 1)}^{- 3} \cdot 3$

Этап 3.3.7.2

Умножим $3$ на $18$ .

$54 {(3 x - 1)}^{- 3}$

Этап 3.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$54 \frac{1}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Этап 3.4.2

Объединим $54$ и $\frac{1}{{(3 x - 1)}^{3}}$ .

$f''' (x) = \frac{54}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Этап 4

Найдем четвертую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Поскольку $54$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{54}{{(3 x - 1)}^{3}}$ по $x$ равна $54 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(3 x - 1)}^{3}}]$ .

$54 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(3 x - 1)}^{3}}]$

Этап 4.1.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Перепишем $\frac{1}{{(3 x - 1)}^{3}}$ в виде ${({(3 x - 1)}^{3})}^{- 1}$ .

$54 \frac{d}{d x} [{({(3 x - 1)}^{3})}^{- 1}]$

Этап 4.1.2.2

Перемножим экспоненты в ${({(3 x - 1)}^{3})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$54 \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{3 \cdot - 1}]$

Этап 4.1.2.2.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$54 \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{- 3}]$

Этап 4.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $3 x - 1$ .

$54 (\frac{d}{d u} [u^{- 3}] \frac{d}{d x} [3 x - 1])$

Этап 4.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 3$ .

$54 (- 3 u^{- 4} \frac{d}{d x} [3 x - 1])$

Этап 4.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $3 x - 1$ .

$54 (- 3 {(3 x - 1)}^{- 4} \frac{d}{d x} [3 x - 1])$

Этап 4.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Умножим $- 3$ на $54$ .

$- 162 ({(3 x - 1)}^{- 4} \frac{d}{d x} [3 x - 1])$

Этап 4.3.2

По правилу суммы производная $3 x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$- 162 {(3 x - 1)}^{- 4} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 4.3.3

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 162 {(3 x - 1)}^{- 4} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 4.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 162 {(3 x - 1)}^{- 4} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 4.3.5

Умножим $3$ на $1$ .

$- 162 {(3 x - 1)}^{- 4} (3 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 4.3.6

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$- 162 {(3 x - 1)}^{- 4} (3 + 0)$

Этап 4.3.7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.7.1

Добавим $3$ и $0$ .

$- 162 {(3 x - 1)}^{- 4} \cdot 3$

Этап 4.3.7.2

Умножим $3$ на $- 162$ .

$- 486 {(3 x - 1)}^{- 4}$

Этап 4.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 486 \frac{1}{{(3 x - 1)}^{4}}$

Этап 4.4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Объединим $- 486$ и $\frac{1}{{(3 x - 1)}^{4}}$ .

$\frac{- 486}{{(3 x - 1)}^{4}}$

Этап 4.4.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f^{4} (x) = - \frac{486}{{(3 x - 1)}^{4}}$

Этап 5

Четвертая производная $f (x)$ по $x$ равна $- \frac{486}{{(3 x - 1)}^{4}}$ .

$- \frac{486}{{(3 x - 1)}^{4}}$