Математический анализ Примеры

$f (x) = x - 2 \sin (x)$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $x - 2 \sin (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 \sin (x)$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$1 - 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 1.2.2

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$f' (x) = 1 - 2 \cos (x)$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

По правилу суммы производная $1 - 2 \cos (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$

Этап 2.1.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 \cos (x)$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$0 - 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Этап 2.2.2

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$0 - 2 (- \sin (x))$

Этап 2.2.3

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$0 + 2 \sin (x)$

Этап 2.3

Добавим $0$ и $2 \sin (x)$ .

$f'' (x) = 2 \sin (x)$

Этап 3

Найдем третью производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 \sin (x)$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 3.2

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$f''' (x) = 2 \cos (x)$

Этап 4

Найдем четвертую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 \cos (x)$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Этап 4.2

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$2 (- \sin (x))$

Этап 4.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f^{4} (x) = - 2 \sin (x)$

Этап 5

Четвертая производная $f (x)$ по $x$ равна $- 2 \sin (x)$ .

$- 2 \sin (x)$