Математический анализ Примеры

Этап 1
Найдем первую производную.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.1
Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что имеет вид , где и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.1.1
Чтобы применить цепное правило, зададим как .
Этап 1.1.2
Производная по равна .
Этап 1.1.3
Заменим все вхождения на .
Этап 1.2
Продифференцируем, используя правило степени.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.2.1
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 1.2.2
Изменим порядок множителей в .
Этап 2
Найдем вторую производную.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.1
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 2.2
Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что имеет вид , где и .
Этап 2.3
Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что имеет вид , где и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.3.1
Чтобы применить цепное правило, зададим как .
Этап 2.3.2
Производная по равна .
Этап 2.3.3
Заменим все вхождения на .
Этап 2.4
Продифференцируем, используя правило степени.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.4.1
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 2.4.2
Умножим на .
Этап 2.5
Возведем в степень .
Этап 2.6
Возведем в степень .
Этап 2.7
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 2.8
Добавим и .
Этап 2.9
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 2.10
Умножим на .
Этап 2.11
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.11.1
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 2.11.2
Умножим на .
Этап 3
Найдем третью производную.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.1
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 3.2
Найдем значение .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.2.1
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 3.2.2
Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что имеет вид , где и .
Этап 3.2.3
Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что имеет вид , где и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.2.3.1
Чтобы применить цепное правило, зададим как .
Этап 3.2.3.2
Производная по равна .
Этап 3.2.3.3
Заменим все вхождения на .
Этап 3.2.4
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 3.2.5
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 3.2.6
Умножим на , сложив экспоненты.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.2.6.1
Перенесем .
Этап 3.2.6.2
Умножим на .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.2.6.2.1
Возведем в степень .
Этап 3.2.6.2.2
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 3.2.6.3
Добавим и .
Этап 3.2.7
Перенесем влево от .
Этап 3.3
Найдем значение .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.3.1
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 3.3.2
Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что имеет вид , где и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.3.2.1
Чтобы применить цепное правило, зададим как .
Этап 3.3.2.2
Производная по равна .
Этап 3.3.2.3
Заменим все вхождения на .
Этап 3.3.3
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 3.3.4
Умножим на .
Этап 3.3.5
Умножим на .
Этап 3.4
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.4.1
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 3.4.2
Объединим термины.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.4.2.1
Умножим на .
Этап 3.4.2.2
Умножим на .
Этап 3.4.2.3
Вычтем из .
Этап 3.4.3
Изменим порядок членов.
Этап 4
Найдем четвертую производную.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.1
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 4.2
Найдем значение .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.2.1
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 4.2.2
Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что имеет вид , где и .
Этап 4.2.3
Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что имеет вид , где и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.2.3.1
Чтобы применить цепное правило, зададим как .
Этап 4.2.3.2
Производная по равна .
Этап 4.2.3.3
Заменим все вхождения на .
Этап 4.2.4
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 4.2.5
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 4.2.6
Умножим на .
Этап 4.2.7
Умножим на , сложив экспоненты.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.2.7.1
Перенесем .
Этап 4.2.7.2
Умножим на .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.2.7.2.1
Возведем в степень .
Этап 4.2.7.2.2
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 4.2.7.3
Добавим и .
Этап 4.3
Найдем значение .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.3.1
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 4.3.2
Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что имеет вид , где и .
Этап 4.3.3
Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что имеет вид , где и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.3.3.1
Чтобы применить цепное правило, зададим как .
Этап 4.3.3.2
Производная по равна .
Этап 4.3.3.3
Заменим все вхождения на .
Этап 4.3.4
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 4.3.5
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 4.3.6
Возведем в степень .
Этап 4.3.7
Возведем в степень .
Этап 4.3.8
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 4.3.9
Добавим и .
Этап 4.3.10
Перенесем влево от .
Этап 4.3.11
Умножим на .
Этап 4.4
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.4.1
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 4.4.2
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 4.4.3
Объединим термины.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.4.3.1
Умножим на .
Этап 4.4.3.2
Умножим на .
Этап 4.4.3.3
Умножим на .
Этап 4.4.3.4
Вычтем из .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.4.3.4.1
Перенесем .
Этап 4.4.3.4.2
Вычтем из .
Этап 5
Четвертая производная по равна .