Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{{(2 x - 5)}^{7}}{2 x}$

Этап 1

Поскольку $\frac{1}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{{(2 x - 5)}^{7}}{2 x}$ по $x$ равна $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{{(2 x - 5)}^{7}}{x}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{{(2 x - 5)}^{7}}{x}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = {(2 x - 5)}^{7}$ и $g (x) = x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{7}] - {(2 x - 5)}^{7} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{7}$ и $g (x) = 2 x - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x - 5$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (\frac{d}{d u} [u^{7}] \frac{d}{d x} [2 x - 5]) - {(2 x - 5)}^{7} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 7$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (7 u^{6} \frac{d}{d x} [2 x - 5]) - {(2 x - 5)}^{7} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 3.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x - 5$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (7 {(2 x - 5)}^{6} \frac{d}{d x} [2 x - 5]) - {(2 x - 5)}^{7} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

По правилу суммы производная $2 x - 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (7 {(2 x - 5)}^{6} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5])) - {(2 x - 5)}^{7} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 4.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (7 {(2 x - 5)}^{6} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])) - {(2 x - 5)}^{7} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 4.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (7 {(2 x - 5)}^{6} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5])) - {(2 x - 5)}^{7} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 4.4

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (7 {(2 x - 5)}^{6} (2 + \frac{d}{d x} [- 5])) - {(2 x - 5)}^{7} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 4.5

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (7 {(2 x - 5)}^{6} (2 + 0)) - {(2 x - 5)}^{7} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 4.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Добавим $2$ и $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (7 {(2 x - 5)}^{6} \cdot 2) - {(2 x - 5)}^{7} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 4.6.2

Умножим $2$ на $7$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (14 {(2 x - 5)}^{6}) - {(2 x - 5)}^{7} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 4.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (14 {(2 x - 5)}^{6}) - {(2 x - 5)}^{7} \cdot 1}{x^{2}}$

Этап 4.8

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (14 {(2 x - 5)}^{6}) - {(2 x - 5)}^{7}}{x^{2}}$

Этап 4.8.2

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{x (14 {(2 x - 5)}^{6}) - {(2 x - 5)}^{7}}{x^{2}}$ .

$\frac{x (14 {(2 x - 5)}^{6}) - {(2 x - 5)}^{7}}{2 x^{2}}$

Этап 5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вынесем множитель ${(2 x - 5)}^{6}$ из $x (14 {(2 x - 5)}^{6}) - {(2 x - 5)}^{7}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Вынесем множитель ${(2 x - 5)}^{6}$ из $x (14 {(2 x - 5)}^{6})$ .

$\frac{{(2 x - 5)}^{6} (x \cdot (14)) - {(2 x - 5)}^{7}}{2 x^{2}}$

Этап 5.1.2

Вынесем множитель ${(2 x - 5)}^{6}$ из $- {(2 x - 5)}^{7}$ .

$\frac{{(2 x - 5)}^{6} (x \cdot (14)) + {(2 x - 5)}^{6} (- (2 x - 5))}{2 x^{2}}$

Этап 5.1.3

Вынесем множитель ${(2 x - 5)}^{6}$ из ${(2 x - 5)}^{6} (x \cdot (14)) + {(2 x - 5)}^{6} (- (2 x - 5))$ .

$\frac{{(2 x - 5)}^{6} (x \cdot (14) - (2 x - 5))}{2 x^{2}}$

Этап 5.2

Перенесем $14$ влево от $x$ .

$\frac{{(2 x - 5)}^{6} (14 x - (2 x - 5))}{2 x^{2}}$

Этап 5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{{(2 x - 5)}^{6} (14 x - (2 x) - - 5)}{2 x^{2}}$

Этап 5.4

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{{(2 x - 5)}^{6} (14 x - 2 x - - 5)}{2 x^{2}}$

Этап 5.5

Умножим $- 1$ на $- 5$ .

$\frac{{(2 x - 5)}^{6} (14 x - 2 x + 5)}{2 x^{2}}$

Этап 5.6

Вычтем $2 x$ из $14 x$ .

$\frac{{(2 x - 5)}^{6} (12 x + 5)}{2 x^{2}}$