Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{x}{4 - 7 x}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = 4 - 7 x$ .

$\frac{(4 - 7 x) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [4 - 7 x]}{{(4 - 7 x)}^{2}}$

Этап 1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(4 - 7 x) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [4 - 7 x]}{{(4 - 7 x)}^{2}}$

Этап 1.2.2

Умножим $4 - 7 x$ на $1$ .

$\frac{4 - 7 x - x \frac{d}{d x} [4 - 7 x]}{{(4 - 7 x)}^{2}}$

Этап 1.2.3

По правилу суммы производная $4 - 7 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 7 x]$ .

$\frac{4 - 7 x - x (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 7 x])}{{(4 - 7 x)}^{2}}$

Этап 1.2.4

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{4 - 7 x - x (0 + \frac{d}{d x} [- 7 x])}{{(4 - 7 x)}^{2}}$

Этап 1.2.5

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- 7 x]$ .

$\frac{4 - 7 x - x \frac{d}{d x} [- 7 x]}{{(4 - 7 x)}^{2}}$

Этап 1.2.6

Поскольку $- 7$ является константой относительно $x$ , производная $- 7 x$ по $x$ равна $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{4 - 7 x - x (- 7 \frac{d}{d x} [x])}{{(4 - 7 x)}^{2}}$

Этап 1.2.7

Умножим $- 7$ на $- 1$ .

$\frac{4 - 7 x + 7 x \frac{d}{d x} [x]}{{(4 - 7 x)}^{2}}$

Этап 1.2.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{4 - 7 x + 7 x \cdot 1}{{(4 - 7 x)}^{2}}$

Этап 1.2.9

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.9.1

Умножим $7$ на $1$ .

$\frac{4 - 7 x + 7 x}{{(4 - 7 x)}^{2}}$

Этап 1.2.9.2

Добавим $- 7 x$ и $7 x$ .

$\frac{4 + 0}{{(4 - 7 x)}^{2}}$

Этап 1.2.9.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.9.3.1

Добавим $4$ и $0$ .

$\frac{4}{{(4 - 7 x)}^{2}}$

Этап 1.2.9.3.2

Изменим порядок членов.

$f' (x) = \frac{4}{{(- 7 x + 4)}^{2}}$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{4}{{(- 7 x + 4)}^{2}}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(- 7 x + 4)}^{2}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(- 7 x + 4)}^{2}}]$

Этап 2.1.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Перепишем $\frac{1}{{(- 7 x + 4)}^{2}}$ в виде ${({(- 7 x + 4)}^{2})}^{- 1}$ .

$4 \frac{d}{d x} [{({(- 7 x + 4)}^{2})}^{- 1}]$

Этап 2.1.2.2

Перемножим экспоненты в ${({(- 7 x + 4)}^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \frac{d}{d x} [{(- 7 x + 4)}^{2 \cdot - 1}]$

Этап 2.1.2.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$4 \frac{d}{d x} [{(- 7 x + 4)}^{- 2}]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 2}$ и $g (x) = - 7 x + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $- 7 x + 4$ .

$4 (\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [- 7 x + 4])$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 2$ .

$4 (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [- 7 x + 4])$

Этап 2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $- 7 x + 4$ .

$4 (- 2 {(- 7 x + 4)}^{- 3} \frac{d}{d x} [- 7 x + 4])$

Этап 2.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим $- 2$ на $4$ .

$- 8 ({(- 7 x + 4)}^{- 3} \frac{d}{d x} [- 7 x + 4])$

Этап 2.3.2

По правилу суммы производная $- 7 x + 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$- 8 {(- 7 x + 4)}^{- 3} (\frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [4])$

Этап 2.3.3

Поскольку $- 7$ является константой относительно $x$ , производная $- 7 x$ по $x$ равна $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 8 {(- 7 x + 4)}^{- 3} (- 7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])$

Этап 2.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 8 {(- 7 x + 4)}^{- 3} (- 7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4])$

Этап 2.3.5

Умножим $- 7$ на $1$ .

$- 8 {(- 7 x + 4)}^{- 3} (- 7 + \frac{d}{d x} [4])$

Этап 2.3.6

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$- 8 {(- 7 x + 4)}^{- 3} (- 7 + 0)$

Этап 2.3.7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.1

Добавим $- 7$ и $0$ .

$- 8 {(- 7 x + 4)}^{- 3} \cdot - 7$

Этап 2.3.7.2

Умножим $- 7$ на $- 8$ .

$56 {(- 7 x + 4)}^{- 3}$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$56 \frac{1}{{(- 7 x + 4)}^{3}}$

Этап 2.4.2

Объединим $56$ и $\frac{1}{{(- 7 x + 4)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{56}{{(- 7 x + 4)}^{3}}$

Этап 3

Найдем третью производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Поскольку $56$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{56}{{(- 7 x + 4)}^{3}}$ по $x$ равна $56 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(- 7 x + 4)}^{3}}]$ .

$56 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(- 7 x + 4)}^{3}}]$

Этап 3.1.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Перепишем $\frac{1}{{(- 7 x + 4)}^{3}}$ в виде ${({(- 7 x + 4)}^{3})}^{- 1}$ .

$56 \frac{d}{d x} [{({(- 7 x + 4)}^{3})}^{- 1}]$

Этап 3.1.2.2

Перемножим экспоненты в ${({(- 7 x + 4)}^{3})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$56 \frac{d}{d x} [{(- 7 x + 4)}^{3 \cdot - 1}]$

Этап 3.1.2.2.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$56 \frac{d}{d x} [{(- 7 x + 4)}^{- 3}]$

Этап 3.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $- 7 x + 4$ .

$56 (\frac{d}{d u} [u^{- 3}] \frac{d}{d x} [- 7 x + 4])$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 3$ .

$56 (- 3 u^{- 4} \frac{d}{d x} [- 7 x + 4])$

Этап 3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $- 7 x + 4$ .

$56 (- 3 {(- 7 x + 4)}^{- 4} \frac{d}{d x} [- 7 x + 4])$

Этап 3.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим $- 3$ на $56$ .

$- 168 ({(- 7 x + 4)}^{- 4} \frac{d}{d x} [- 7 x + 4])$

Этап 3.3.2

По правилу суммы производная $- 7 x + 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$- 168 {(- 7 x + 4)}^{- 4} (\frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [4])$

Этап 3.3.3

Поскольку $- 7$ является константой относительно $x$ , производная $- 7 x$ по $x$ равна $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 168 {(- 7 x + 4)}^{- 4} (- 7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])$

Этап 3.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 168 {(- 7 x + 4)}^{- 4} (- 7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4])$

Этап 3.3.5

Умножим $- 7$ на $1$ .

$- 168 {(- 7 x + 4)}^{- 4} (- 7 + \frac{d}{d x} [4])$

Этап 3.3.6

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$- 168 {(- 7 x + 4)}^{- 4} (- 7 + 0)$

Этап 3.3.7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.7.1

Добавим $- 7$ и $0$ .

$- 168 {(- 7 x + 4)}^{- 4} \cdot - 7$

Этап 3.3.7.2

Умножим $- 7$ на $- 168$ .

$1176 {(- 7 x + 4)}^{- 4}$

Этап 3.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1176 \frac{1}{{(- 7 x + 4)}^{4}}$

Этап 3.4.2

Объединим $1176$ и $\frac{1}{{(- 7 x + 4)}^{4}}$ .

$f''' (x) = \frac{1176}{{(- 7 x + 4)}^{4}}$

Этап 4

Найдем четвертую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Поскольку $1176$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{1176}{{(- 7 x + 4)}^{4}}$ по $x$ равна $1176 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(- 7 x + 4)}^{4}}]$ .

$1176 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(- 7 x + 4)}^{4}}]$

Этап 4.1.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Перепишем $\frac{1}{{(- 7 x + 4)}^{4}}$ в виде ${({(- 7 x + 4)}^{4})}^{- 1}$ .

$1176 \frac{d}{d x} [{({(- 7 x + 4)}^{4})}^{- 1}]$

Этап 4.1.2.2

Перемножим экспоненты в ${({(- 7 x + 4)}^{4})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1176 \frac{d}{d x} [{(- 7 x + 4)}^{4 \cdot - 1}]$

Этап 4.1.2.2.2

Умножим $4$ на $- 1$ .

$1176 \frac{d}{d x} [{(- 7 x + 4)}^{- 4}]$

Этап 4.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $- 7 x + 4$ .

$1176 (\frac{d}{d u} [u^{- 4}] \frac{d}{d x} [- 7 x + 4])$

Этап 4.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 4$ .

$1176 (- 4 u^{- 5} \frac{d}{d x} [- 7 x + 4])$

Этап 4.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $- 7 x + 4$ .

$1176 (- 4 {(- 7 x + 4)}^{- 5} \frac{d}{d x} [- 7 x + 4])$

Этап 4.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Умножим $- 4$ на $1176$ .

$- 4704 ({(- 7 x + 4)}^{- 5} \frac{d}{d x} [- 7 x + 4])$

Этап 4.3.2

По правилу суммы производная $- 7 x + 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$- 4704 {(- 7 x + 4)}^{- 5} (\frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [4])$

Этап 4.3.3

Поскольку $- 7$ является константой относительно $x$ , производная $- 7 x$ по $x$ равна $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4704 {(- 7 x + 4)}^{- 5} (- 7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])$

Этап 4.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 4704 {(- 7 x + 4)}^{- 5} (- 7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4])$

Этап 4.3.5

Умножим $- 7$ на $1$ .

$- 4704 {(- 7 x + 4)}^{- 5} (- 7 + \frac{d}{d x} [4])$

Этап 4.3.6

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$- 4704 {(- 7 x + 4)}^{- 5} (- 7 + 0)$

Этап 4.3.7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.7.1

Добавим $- 7$ и $0$ .

$- 4704 {(- 7 x + 4)}^{- 5} \cdot - 7$

Этап 4.3.7.2

Умножим $- 7$ на $- 4704$ .

$32928 {(- 7 x + 4)}^{- 5}$

Этап 4.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$32928 \frac{1}{{(- 7 x + 4)}^{5}}$

Этап 4.4.2

Объединим $32928$ и $\frac{1}{{(- 7 x + 4)}^{5}}$ .

$f^{4} (x) = \frac{32928}{{(- 7 x + 4)}^{5}}$

Этап 5

Четвертая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{32928}{{(- 7 x + 4)}^{5}}$ .

$\frac{32928}{{(- 7 x + 4)}^{5}}$