Математический анализ Примеры

С помощью ${\displaystyle \sqrt[n]{a^x}=a^{\frac{x}{n}}}$ запишем ${\displaystyle \sqrt[15]{7x+5}}$ в виде ${\displaystyle {(7x+5)}^{\frac{1}{15}}}$.

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[f\left(g\left(x\right)\right)\right]}$ имеет вид ${\displaystyle f\prime \left(g\left(x\right)\right)g\prime \left(x\right)}$, где ${\displaystyle f\left(x\right)=x^{\frac{1}{15}}}$ и ${\displaystyle g\left(x\right)=7x+5}$.

Чтобы записать ${\displaystyle -1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на ${\displaystyle \frac{15}{15}}$.

Объединим ${\displaystyle -1}$ и ${\displaystyle \frac{15}{15}}$.

Объединим числители над общим знаменателем.

Упростим числитель.

Объединим дроби.

По правилу суммы производная ${\displaystyle 7x+5}$ по ${\displaystyle x}$ имеет вид ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[7x\right]+\frac{d}{dx}\left[5\right]}$.

Поскольку ${\displaystyle 7}$ является константой относительно ${\displaystyle x}$, производная ${\displaystyle 7x}$ по ${\displaystyle x}$ равна ${\displaystyle 7\frac{d}{dx}\left[x\right]}$.

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ имеет вид ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$, где ${\displaystyle n=1}$.

Умножим ${\displaystyle 7}$ на ${\displaystyle 1}$.

Поскольку ${\displaystyle 5}$ является константой относительно ${\displaystyle x}$, производная ${\displaystyle 5}$ относительно ${\displaystyle x}$ равна ${\displaystyle 0}$.

Объединим дроби.

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[f\left(g\left(x\right)\right)\right]}$ имеет вид ${\displaystyle f\prime \left(g\left(x\right)\right)g\prime \left(x\right)}$, где ${\displaystyle f\left(x\right)=x^{-\frac{14}{15}}}$ и ${\displaystyle g\left(x\right)=7x+5}$.

Чтобы записать ${\displaystyle -1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на ${\displaystyle \frac{15}{15}}$.

Объединим ${\displaystyle -1}$ и ${\displaystyle \frac{15}{15}}$.

Объединим числители над общим знаменателем.

Упростим числитель.

Объединим дроби.

По правилу суммы производная ${\displaystyle 7x+5}$ по ${\displaystyle x}$ имеет вид ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[7x\right]+\frac{d}{dx}\left[5\right]}$.

Поскольку ${\displaystyle 7}$ является константой относительно ${\displaystyle x}$, производная ${\displaystyle 7x}$ по ${\displaystyle x}$ равна ${\displaystyle 7\frac{d}{dx}\left[x\right]}$.

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ имеет вид ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$, где ${\displaystyle n=1}$.

Умножим ${\displaystyle 7}$ на ${\displaystyle 1}$.

Поскольку ${\displaystyle 5}$ является константой относительно ${\displaystyle x}$, производная ${\displaystyle 5}$ относительно ${\displaystyle x}$ равна ${\displaystyle 0}$.

Объединим дроби.

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[f\left(g\left(x\right)\right)\right]}$ имеет вид ${\displaystyle f\prime \left(g\left(x\right)\right)g\prime \left(x\right)}$, где ${\displaystyle f\left(x\right)=x^{-\frac{29}{15}}}$ и ${\displaystyle g\left(x\right)=7x+5}$.

Чтобы записать ${\displaystyle -1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на ${\displaystyle \frac{15}{15}}$.

Объединим ${\displaystyle -1}$ и ${\displaystyle \frac{15}{15}}$.

Объединим числители над общим знаменателем.

Упростим числитель.

Объединим дроби.

По правилу суммы производная ${\displaystyle 7x+5}$ по ${\displaystyle x}$ имеет вид ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[7x\right]+\frac{d}{dx}\left[5\right]}$.

Поскольку ${\displaystyle 7}$ является константой относительно ${\displaystyle x}$, производная ${\displaystyle 7x}$ по ${\displaystyle x}$ равна ${\displaystyle 7\frac{d}{dx}\left[x\right]}$.

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ имеет вид ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$, где ${\displaystyle n=1}$.

Умножим ${\displaystyle 7}$ на ${\displaystyle 1}$.

Поскольку ${\displaystyle 5}$ является константой относительно ${\displaystyle x}$, производная ${\displaystyle 5}$ относительно ${\displaystyle x}$ равна ${\displaystyle 0}$.

Объединим дроби.

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.