Математический анализ Примеры

$f (x) = 2 x^{2} \cos (6 x)$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{2} \cos (6 x)$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{2} \cos (6 x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2} \cos (6 x)]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = \cos (6 x)$ .

$2 (x^{2} \frac{d}{d x} [\cos (6 x)] + \cos (6 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 1.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \cos (x)$ и $g (x) = 6 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $6 x$ .

$2 (x^{2} (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [6 x]) + \cos (6 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 1.3.2

Производная $\cos (u)$ по $u$ равна $- \sin (u)$ .

$2 (x^{2} (- \sin (u) \frac{d}{d x} [6 x]) + \cos (6 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 1.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $6 x$ .

$2 (x^{2} (- \sin (6 x) \frac{d}{d x} [6 x]) + \cos (6 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 1.4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (x^{2} (- \sin (6 x) (6 \frac{d}{d x} [x])) + \cos (6 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 1.4.2

Умножим $6$ на $- 1$ .

$2 (x^{2} (- 6 \sin (6 x) \frac{d}{d x} [x]) + \cos (6 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 1.4.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 (x^{2} (- 6 \sin (6 x) \cdot 1) + \cos (6 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 1.4.4

Умножим $- 6$ на $1$ .

$2 (x^{2} (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 1.4.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 (x^{2} (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x) (2 x))$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 (x^{2} (- 6 \sin (6 x))) + 2 (\cos (6 x) (2 x))$

Этап 1.5.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1

Умножим $- 6$ на $2$ .

$- 12 (x^{2} (\sin (6 x))) + 2 (\cos (6 x) (2 x))$

Этап 1.5.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$- 12 x^{2} \sin (6 x) + 4 \cos (6 x) x$

Этап 1.5.3

Изменим порядок членов.

$f' (x) = - 12 x^{2} \sin (6 x) + 4 x \cos (6 x)$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $- 12 x^{2} \sin (6 x) + 4 x \cos (6 x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 12 x^{2} \sin (6 x)] + \frac{d}{d x} [4 x \cos (6 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- 12 x^{2} \sin (6 x)] + \frac{d}{d x} [4 x \cos (6 x)]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 12 x^{2} \sin (6 x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 12$ является константой относительно $x$ , производная $- 12 x^{2} \sin (6 x)$ по $x$ равна $- 12 \frac{d}{d x} [x^{2} \sin (6 x)]$ .

$- 12 \frac{d}{d x} [x^{2} \sin (6 x)] + \frac{d}{d x} [4 x \cos (6 x)]$

Этап 2.2.2

$- 12 (x^{2} \frac{d}{d x} [\sin (6 x)] + \sin (6 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [4 x \cos (6 x)]$

Этап 2.2.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $6 x$ .

$- 12 (x^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [6 x]) + \sin (6 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [4 x \cos (6 x)]$

Этап 2.2.3.2

Производная $\sin (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\cos (u_{1})$ .

$- 12 (x^{2} (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [6 x]) + \sin (6 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [4 x \cos (6 x)]$

Этап 2.2.3.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $6 x$ .

$- 12 (x^{2} (\cos (6 x) \frac{d}{d x} [6 x]) + \sin (6 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [4 x \cos (6 x)]$

Этап 2.2.4

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 12 (x^{2} (\cos (6 x) (6 \frac{d}{d x} [x])) + \sin (6 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [4 x \cos (6 x)]$

Этап 2.2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 12 (x^{2} (\cos (6 x) (6 \cdot 1)) + \sin (6 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [4 x \cos (6 x)]$

Этап 2.2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- 12 (x^{2} (\cos (6 x) (6 \cdot 1)) + \sin (6 x) (2 x)) + \frac{d}{d x} [4 x \cos (6 x)]$

Этап 2.2.7

Умножим $6$ на $1$ .

$- 12 (x^{2} (\cos (6 x) \cdot 6) + \sin (6 x) (2 x)) + \frac{d}{d x} [4 x \cos (6 x)]$

Этап 2.2.8

Перенесем $6$ влево от $\cos (6 x)$ .

$- 12 (x^{2} (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x) (2 x)) + \frac{d}{d x} [4 x \cos (6 x)]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x \cos (6 x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x \cos (6 x)$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x \cos (6 x)]$ .

$- 12 (x^{2} (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x) (2 x)) + 4 \frac{d}{d x} [x \cos (6 x)]$

Этап 2.3.2

$- 12 (x^{2} (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x) (2 x)) + 4 (x \frac{d}{d x} [\cos (6 x)] + \cos (6 x) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.3.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $6 x$ .

$- 12 (x^{2} (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x) (2 x)) + 4 (x (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [6 x]) + \cos (6 x) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.3.3.2

Производная $\cos (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $- \sin (u_{2})$ .

$- 12 (x^{2} (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x) (2 x)) + 4 (x (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [6 x]) + \cos (6 x) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.3.3.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $6 x$ .

$- 12 (x^{2} (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x) (2 x)) + 4 (x (- \sin (6 x) \frac{d}{d x} [6 x]) + \cos (6 x) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.3.4

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 12 (x^{2} (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x) (2 x)) + 4 (x (- \sin (6 x) (6 \frac{d}{d x} [x])) + \cos (6 x) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 12 (x^{2} (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x) (2 x)) + 4 (x (- \sin (6 x) (6 \cdot 1)) + \cos (6 x) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 12 (x^{2} (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x) (2 x)) + 4 (x (- \sin (6 x) (6 \cdot 1)) + \cos (6 x) \cdot 1)$

Этап 2.3.7

Умножим $6$ на $1$ .

$- 12 (x^{2} (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x) (2 x)) + 4 (x (- \sin (6 x) \cdot 6) + \cos (6 x) \cdot 1)$

Этап 2.3.8

Умножим $6$ на $- 1$ .

$- 12 (x^{2} (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x) (2 x)) + 4 (x (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x) \cdot 1)$

Этап 2.3.9

Умножим $\cos (6 x)$ на $1$ .

$- 12 (x^{2} (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x) (2 x)) + 4 (x (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x))$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 12 (x^{2} (6 \cos (6 x))) - 12 (\sin (6 x) (2 x)) + 4 (x (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x))$

Этап 2.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- 12 (x^{2} (6 \cos (6 x))) - 12 (\sin (6 x) (2 x)) + 4 (x (- 6 \sin (6 x))) + 4 \cos (6 x)$

Этап 2.4.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1

Умножим $6$ на $- 12$ .

$- 72 (x^{2} (\cos (6 x))) - 12 (\sin (6 x) (2 x)) + 4 (x (- 6 \sin (6 x))) + 4 \cos (6 x)$

Этап 2.4.3.2

Умножим $2$ на $- 12$ .

$- 72 x^{2} \cos (6 x) - 24 (\sin (6 x) (x)) + 4 (x (- 6 \sin (6 x))) + 4 \cos (6 x)$

Этап 2.4.3.3

Умножим $- 6$ на $4$ .

$- 72 x^{2} \cos (6 x) - 24 \sin (6 x) x - 24 (x (\sin (6 x))) + 4 \cos (6 x)$

Этап 2.4.3.4

Вычтем $24 x \sin (6 x)$ из $- 24 \sin (6 x) x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.4.1

Перенесем $\sin (6 x)$ .

$- 72 x^{2} \cos (6 x) - 24 x \sin (6 x) - 24 x \sin (6 x) + 4 \cos (6 x)$

Этап 2.4.3.4.2

Вычтем $24 x \sin (6 x)$ из $- 24 x \sin (6 x)$ .

$f'' (x) = - 72 x^{2} \cos (6 x) - 48 x \sin (6 x) + 4 \cos (6 x)$

Этап 3

Найдем третью производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $- 72 x^{2} \cos (6 x) - 48 x \sin (6 x) + 4 \cos (6 x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 72 x^{2} \cos (6 x)] + \frac{d}{d x} [- 48 x \sin (6 x)] + \frac{d}{d x} [4 \cos (6 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- 72 x^{2} \cos (6 x)] + \frac{d}{d x} [- 48 x \sin (6 x)] + \frac{d}{d x} [4 \cos (6 x)]$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 72 x^{2} \cos (6 x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $- 72$ является константой относительно $x$ , производная $- 72 x^{2} \cos (6 x)$ по $x$ равна $- 72 \frac{d}{d x} [x^{2} \cos (6 x)]$ .

$- 72 \frac{d}{d x} [x^{2} \cos (6 x)] + \frac{d}{d x} [- 48 x \sin (6 x)] + \frac{d}{d x} [4 \cos (6 x)]$

Этап 3.2.2

$- 72 (x^{2} \frac{d}{d x} [\cos (6 x)] + \cos (6 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 48 x \sin (6 x)] + \frac{d}{d x} [4 \cos (6 x)]$

Этап 3.2.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $6 x$ .

$- 72 (x^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [6 x]) + \cos (6 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 48 x \sin (6 x)] + \frac{d}{d x} [4 \cos (6 x)]$

Этап 3.2.3.2

Производная $\cos (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $- \sin (u_{1})$ .

$- 72 (x^{2} (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [6 x]) + \cos (6 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 48 x \sin (6 x)] + \frac{d}{d x} [4 \cos (6 x)]$

Этап 3.2.3.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $6 x$ .

$- 72 (x^{2} (- \sin (6 x) \frac{d}{d x} [6 x]) + \cos (6 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 48 x \sin (6 x)] + \frac{d}{d x} [4 \cos (6 x)]$

Этап 3.2.4

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 72 (x^{2} (- \sin (6 x) (6 \frac{d}{d x} [x])) + \cos (6 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 48 x \sin (6 x)] + \frac{d}{d x} [4 \cos (6 x)]$

Этап 3.2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 72 (x^{2} (- \sin (6 x) (6 \cdot 1)) + \cos (6 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 48 x \sin (6 x)] + \frac{d}{d x} [4 \cos (6 x)]$

Этап 3.2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- 72 (x^{2} (- \sin (6 x) (6 \cdot 1)) + \cos (6 x) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 48 x \sin (6 x)] + \frac{d}{d x} [4 \cos (6 x)]$

Этап 3.2.7

Умножим $6$ на $1$ .

$- 72 (x^{2} (- \sin (6 x) \cdot 6) + \cos (6 x) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 48 x \sin (6 x)] + \frac{d}{d x} [4 \cos (6 x)]$

Этап 3.2.8

Умножим $6$ на $- 1$ .

$- 72 (x^{2} (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 48 x \sin (6 x)] + \frac{d}{d x} [4 \cos (6 x)]$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 48 x \sin (6 x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $- 48$ является константой относительно $x$ , производная $- 48 x \sin (6 x)$ по $x$ равна $- 48 \frac{d}{d x} [x \sin (6 x)]$ .

$- 72 (x^{2} (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x) (2 x)) - 48 \frac{d}{d x} [x \sin (6 x)] + \frac{d}{d x} [4 \cos (6 x)]$

Этап 3.3.2

$- 72 (x^{2} (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x) (2 x)) - 48 (x \frac{d}{d x} [\sin (6 x)] + \sin (6 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [4 \cos (6 x)]$

Этап 3.3.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $6 x$ .

$- 72 (x^{2} (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x) (2 x)) - 48 (x (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [6 x]) + \sin (6 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [4 \cos (6 x)]$

Этап 3.3.3.2

Производная $\sin (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $\cos (u_{2})$ .

$- 72 (x^{2} (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x) (2 x)) - 48 (x (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [6 x]) + \sin (6 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [4 \cos (6 x)]$

Этап 3.3.3.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $6 x$ .

$- 72 (x^{2} (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x) (2 x)) - 48 (x (\cos (6 x) \frac{d}{d x} [6 x]) + \sin (6 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [4 \cos (6 x)]$

Этап 3.3.4

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 72 (x^{2} (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x) (2 x)) - 48 (x (\cos (6 x) (6 \frac{d}{d x} [x])) + \sin (6 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [4 \cos (6 x)]$

Этап 3.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 72 (x^{2} (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x) (2 x)) - 48 (x (\cos (6 x) (6 \cdot 1)) + \sin (6 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [4 \cos (6 x)]$

Этап 3.3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 72 (x^{2} (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x) (2 x)) - 48 (x (\cos (6 x) (6 \cdot 1)) + \sin (6 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [4 \cos (6 x)]$

Этап 3.3.7

Умножим $6$ на $1$ .

$- 72 (x^{2} (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x) (2 x)) - 48 (x (\cos (6 x) \cdot 6) + \sin (6 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [4 \cos (6 x)]$

Этап 3.3.8

Перенесем $6$ влево от $\cos (6 x)$ .

$- 72 (x^{2} (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x) (2 x)) - 48 (x (6 \cdot \cos (6 x)) + \sin (6 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [4 \cos (6 x)]$

Этап 3.3.9

Умножим $\sin (6 x)$ на $1$ .

$- 72 (x^{2} (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x) (2 x)) - 48 (x (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x)) + \frac{d}{d x} [4 \cos (6 x)]$

Этап 3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 \cos (6 x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 \cos (6 x)$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [\cos (6 x)]$ .

$- 72 (x^{2} (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x) (2 x)) - 48 (x (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x)) + 4 \frac{d}{d x} [\cos (6 x)]$

Этап 3.4.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{3}$ как $6 x$ .

$- 72 (x^{2} (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x) (2 x)) - 48 (x (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x)) + 4 (\frac{d}{d u_{3}} [\cos (u_{3})] \frac{d}{d x} [6 x])$

Этап 3.4.2.2

Производная $\cos (u_{3})$ по $u_{3}$ равна $- \sin (u_{3})$ .

$- 72 (x^{2} (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x) (2 x)) - 48 (x (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x)) + 4 (- \sin (u_{3}) \frac{d}{d x} [6 x])$

Этап 3.4.2.3

Заменим все вхождения $u_{3}$ на $6 x$ .

$- 72 (x^{2} (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x) (2 x)) - 48 (x (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x)) + 4 (- \sin (6 x) \frac{d}{d x} [6 x])$

Этап 3.4.3

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 72 (x^{2} (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x) (2 x)) - 48 (x (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x)) + 4 (- \sin (6 x) (6 \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 3.4.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 72 (x^{2} (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x) (2 x)) - 48 (x (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x)) + 4 (- \sin (6 x) (6 \cdot 1))$

Этап 3.4.5

Умножим $6$ на $1$ .

$- 72 (x^{2} (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x) (2 x)) - 48 (x (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x)) + 4 (- \sin (6 x) \cdot 6)$

Этап 3.4.6

Умножим $6$ на $- 1$ .

$- 72 (x^{2} (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x) (2 x)) - 48 (x (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x)) + 4 (- 6 \sin (6 x))$

Этап 3.4.7

Умножим $- 6$ на $4$ .

$- 72 (x^{2} (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x) (2 x)) - 48 (x (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x)) - 24 \sin (6 x)$

Этап 3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 72 (x^{2} (- 6 \sin (6 x))) - 72 (\cos (6 x) (2 x)) - 48 (x (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x)) - 24 \sin (6 x)$

Этап 3.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- 72 (x^{2} (- 6 \sin (6 x))) - 72 (\cos (6 x) (2 x)) - 48 (x (6 \cos (6 x))) - 48 \sin (6 x) - 24 \sin (6 x)$

Этап 3.5.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1

Умножим $- 6$ на $- 72$ .

$432 (x^{2} (\sin (6 x))) - 72 (\cos (6 x) (2 x)) - 48 (x (6 \cos (6 x))) - 48 \sin (6 x) - 24 \sin (6 x)$

Этап 3.5.3.2

Умножим $2$ на $- 72$ .

$432 x^{2} \sin (6 x) - 144 (\cos (6 x) (x)) - 48 (x (6 \cos (6 x))) - 48 \sin (6 x) - 24 \sin (6 x)$

Этап 3.5.3.3

Умножим $6$ на $- 48$ .

$432 x^{2} \sin (6 x) - 144 \cos (6 x) x - 288 (x (\cos (6 x))) - 48 \sin (6 x) - 24 \sin (6 x)$

Этап 3.5.3.4

Вычтем $288 x \cos (6 x)$ из $- 144 \cos (6 x) x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.4.1

Перенесем $\cos (6 x)$ .

$432 x^{2} \sin (6 x) - 144 x \cos (6 x) - 288 x \cos (6 x) - 48 \sin (6 x) - 24 \sin (6 x)$

Этап 3.5.3.4.2

Вычтем $288 x \cos (6 x)$ из $- 144 x \cos (6 x)$ .

$432 x^{2} \sin (6 x) - 432 x \cos (6 x) - 48 \sin (6 x) - 24 \sin (6 x)$

Этап 3.5.3.5

Вычтем $24 \sin (6 x)$ из $- 48 \sin (6 x)$ .

$f''' (x) = 432 x^{2} \sin (6 x) - 432 x \cos (6 x) - 72 \sin (6 x)$

Этап 4

Найдем четвертую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

По правилу суммы производная $432 x^{2} \sin (6 x) - 432 x \cos (6 x) - 72 \sin (6 x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [432 x^{2} \sin (6 x)] + \frac{d}{d x} [- 432 x \cos (6 x)] + \frac{d}{d x} [- 72 \sin (6 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [432 x^{2} \sin (6 x)] + \frac{d}{d x} [- 432 x \cos (6 x)] + \frac{d}{d x} [- 72 \sin (6 x)]$

Этап 4.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [432 x^{2} \sin (6 x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Поскольку $432$ является константой относительно $x$ , производная $432 x^{2} \sin (6 x)$ по $x$ равна $432 \frac{d}{d x} [x^{2} \sin (6 x)]$ .

$432 \frac{d}{d x} [x^{2} \sin (6 x)] + \frac{d}{d x} [- 432 x \cos (6 x)] + \frac{d}{d x} [- 72 \sin (6 x)]$

Этап 4.2.2

$432 (x^{2} \frac{d}{d x} [\sin (6 x)] + \sin (6 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 432 x \cos (6 x)] + \frac{d}{d x} [- 72 \sin (6 x)]$

Этап 4.2.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $6 x$ .

$432 (x^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [6 x]) + \sin (6 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 432 x \cos (6 x)] + \frac{d}{d x} [- 72 \sin (6 x)]$

Этап 4.2.3.2

Производная $\sin (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\cos (u_{1})$ .

$432 (x^{2} (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [6 x]) + \sin (6 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 432 x \cos (6 x)] + \frac{d}{d x} [- 72 \sin (6 x)]$

Этап 4.2.3.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $6 x$ .

$432 (x^{2} (\cos (6 x) \frac{d}{d x} [6 x]) + \sin (6 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 432 x \cos (6 x)] + \frac{d}{d x} [- 72 \sin (6 x)]$

Этап 4.2.4

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$432 (x^{2} (\cos (6 x) (6 \frac{d}{d x} [x])) + \sin (6 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 432 x \cos (6 x)] + \frac{d}{d x} [- 72 \sin (6 x)]$

Этап 4.2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$432 (x^{2} (\cos (6 x) (6 \cdot 1)) + \sin (6 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 432 x \cos (6 x)] + \frac{d}{d x} [- 72 \sin (6 x)]$

Этап 4.2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$432 (x^{2} (\cos (6 x) (6 \cdot 1)) + \sin (6 x) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 432 x \cos (6 x)] + \frac{d}{d x} [- 72 \sin (6 x)]$

Этап 4.2.7

Умножим $6$ на $1$ .

$432 (x^{2} (\cos (6 x) \cdot 6) + \sin (6 x) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 432 x \cos (6 x)] + \frac{d}{d x} [- 72 \sin (6 x)]$

Этап 4.2.8

Перенесем $6$ влево от $\cos (6 x)$ .

$432 (x^{2} (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 432 x \cos (6 x)] + \frac{d}{d x} [- 72 \sin (6 x)]$

Этап 4.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 432 x \cos (6 x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Поскольку $- 432$ является константой относительно $x$ , производная $- 432 x \cos (6 x)$ по $x$ равна $- 432 \frac{d}{d x} [x \cos (6 x)]$ .

$432 (x^{2} (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x) (2 x)) - 432 \frac{d}{d x} [x \cos (6 x)] + \frac{d}{d x} [- 72 \sin (6 x)]$

Этап 4.3.2

$432 (x^{2} (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x) (2 x)) - 432 (x \frac{d}{d x} [\cos (6 x)] + \cos (6 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 72 \sin (6 x)]$

Этап 4.3.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $6 x$ .

$432 (x^{2} (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x) (2 x)) - 432 (x (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [6 x]) + \cos (6 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 72 \sin (6 x)]$

Этап 4.3.3.2

Производная $\cos (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $- \sin (u_{2})$ .

$432 (x^{2} (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x) (2 x)) - 432 (x (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [6 x]) + \cos (6 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 72 \sin (6 x)]$

Этап 4.3.3.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $6 x$ .

$432 (x^{2} (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x) (2 x)) - 432 (x (- \sin (6 x) \frac{d}{d x} [6 x]) + \cos (6 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 72 \sin (6 x)]$

Этап 4.3.4

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$432 (x^{2} (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x) (2 x)) - 432 (x (- \sin (6 x) (6 \frac{d}{d x} [x])) + \cos (6 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 72 \sin (6 x)]$

Этап 4.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$432 (x^{2} (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x) (2 x)) - 432 (x (- \sin (6 x) (6 \cdot 1)) + \cos (6 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 72 \sin (6 x)]$

Этап 4.3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$432 (x^{2} (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x) (2 x)) - 432 (x (- \sin (6 x) (6 \cdot 1)) + \cos (6 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 72 \sin (6 x)]$

Этап 4.3.7

Умножим $6$ на $1$ .

$432 (x^{2} (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x) (2 x)) - 432 (x (- \sin (6 x) \cdot 6) + \cos (6 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 72 \sin (6 x)]$

Этап 4.3.8

Умножим $6$ на $- 1$ .

$432 (x^{2} (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x) (2 x)) - 432 (x (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 72 \sin (6 x)]$

Этап 4.3.9

Умножим $\cos (6 x)$ на $1$ .

$432 (x^{2} (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x) (2 x)) - 432 (x (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x)) + \frac{d}{d x} [- 72 \sin (6 x)]$

Этап 4.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 72 \sin (6 x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Поскольку $- 72$ является константой относительно $x$ , производная $- 72 \sin (6 x)$ по $x$ равна $- 72 \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]$ .

$432 (x^{2} (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x) (2 x)) - 432 (x (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x)) - 72 \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]$

Этап 4.4.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{3}$ как $6 x$ .

$432 (x^{2} (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x) (2 x)) - 432 (x (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x)) - 72 (\frac{d}{d u_{3}} [\sin (u_{3})] \frac{d}{d x} [6 x])$

Этап 4.4.2.2

Производная $\sin (u_{3})$ по $u_{3}$ равна $\cos (u_{3})$ .

$432 (x^{2} (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x) (2 x)) - 432 (x (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x)) - 72 (\cos (u_{3}) \frac{d}{d x} [6 x])$

Этап 4.4.2.3

Заменим все вхождения $u_{3}$ на $6 x$ .

$432 (x^{2} (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x) (2 x)) - 432 (x (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x)) - 72 (\cos (6 x) \frac{d}{d x} [6 x])$

Этап 4.4.3

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$432 (x^{2} (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x) (2 x)) - 432 (x (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x)) - 72 (\cos (6 x) (6 \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 4.4.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$432 (x^{2} (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x) (2 x)) - 432 (x (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x)) - 72 (\cos (6 x) (6 \cdot 1))$

Этап 4.4.5

Умножим $6$ на $1$ .

$432 (x^{2} (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x) (2 x)) - 432 (x (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x)) - 72 (\cos (6 x) \cdot 6)$

Этап 4.4.6

Перенесем $6$ влево от $\cos (6 x)$ .

$432 (x^{2} (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x) (2 x)) - 432 (x (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x)) - 72 (6 \cdot \cos (6 x))$

Этап 4.4.7

Умножим $6$ на $- 72$ .

$432 (x^{2} (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x) (2 x)) - 432 (x (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x)) - 432 \cos (6 x)$

Этап 4.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$432 (x^{2} (6 \cos (6 x))) + 432 (\sin (6 x) (2 x)) - 432 (x (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x)) - 432 \cos (6 x)$

Этап 4.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$432 (x^{2} (6 \cos (6 x))) + 432 (\sin (6 x) (2 x)) - 432 (x (- 6 \sin (6 x))) - 432 \cos (6 x) - 432 \cos (6 x)$

Этап 4.5.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.3.1

Умножим $6$ на $432$ .

$2592 (x^{2} (\cos (6 x))) + 432 (\sin (6 x) (2 x)) - 432 (x (- 6 \sin (6 x))) - 432 \cos (6 x) - 432 \cos (6 x)$

Этап 4.5.3.2

Умножим $2$ на $432$ .

$2592 x^{2} \cos (6 x) + 864 (\sin (6 x) (x)) - 432 (x (- 6 \sin (6 x))) - 432 \cos (6 x) - 432 \cos (6 x)$

Этап 4.5.3.3

Умножим $- 6$ на $- 432$ .

$2592 x^{2} \cos (6 x) + 864 \sin (6 x) x + 2592 (x (\sin (6 x))) - 432 \cos (6 x) - 432 \cos (6 x)$

Этап 4.5.3.4

Добавим $864 \sin (6 x) x$ и $2592 x \sin (6 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.3.4.1

Перенесем $\sin (6 x)$ .

$2592 x^{2} \cos (6 x) + 864 x \sin (6 x) + 2592 x \sin (6 x) - 432 \cos (6 x) - 432 \cos (6 x)$

Этап 4.5.3.4.2

Добавим $864 x \sin (6 x)$ и $2592 x \sin (6 x)$ .

$2592 x^{2} \cos (6 x) + 3456 x \sin (6 x) - 432 \cos (6 x) - 432 \cos (6 x)$

Этап 4.5.3.5

Вычтем $432 \cos (6 x)$ из $- 432 \cos (6 x)$ .

$f^{4} (x) = 2592 x^{2} \cos (6 x) + 3456 x \sin (6 x) - 864 \cos (6 x)$

Этап 5

Четвертая производная $f (x)$ по $x$ равна $2592 x^{2} \cos (6 x) + 3456 x \sin (6 x) - 864 \cos (6 x)$ .

$2592 x^{2} \cos (6 x) + 3456 x \sin (6 x) - 864 \cos (6 x)$