Математический анализ Примеры

$\arctan (x)$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Производная $\arctan (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}}$

Этап 1.2

Изменим порядок членов.

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} + 1}$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем $\frac{1}{x^{2} + 1}$ в виде ${(x^{2} + 1)}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{- 1}]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 1}$ и $g (x) = x^{2} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Этап 2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} + 1$ .

$- {(x^{2} + 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Этап 2.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

По правилу суммы производная $x^{2} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- {(x^{2} + 1)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- {(x^{2} + 1)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 2.3.3

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$- {(x^{2} + 1)}^{- 2} (2 x + 0)$

Этап 2.3.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$- {(x^{2} + 1)}^{- 2} (2 x)$

Этап 2.3.4.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 2 {(x^{2} + 1)}^{- 2} x$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} x$

Этап 2.4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{- 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}} x$

Этап 2.4.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2}{{(x^{2} + 1)}^{2}} x$

Этап 2.4.2.3

Объединим $x$ и $\frac{2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$- \frac{x \cdot 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 2.4.2.4

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 3

Найдем третью производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = {(x^{2} + 1)}^{2}$ .

$- 2 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{({(x^{2} + 1)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перемножим экспоненты в ${({(x^{2} + 1)}^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{(x^{2} + 1)}^{2 \cdot 2}}$

Этап 3.3.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$- 2 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 2 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 3.3.3

Умножим ${(x^{2} + 1)}^{2}$ на $1$ .

$- 2 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 3.4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} + 1$ .

$- 2 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} - x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 3.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- 2 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 3.4.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} + 1$ .

$- 2 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} - x (2 (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 3.5

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 2 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 3.5.2

Вынесем множитель $x^{2} + 1$ из ${(x^{2} + 1)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Вынесем множитель $x^{2} + 1$ из ${(x^{2} + 1)}^{2}$ .

$- 2 \frac{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1) - 2 x ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 3.5.2.2

Вынесем множитель $x^{2} + 1$ из $- 2 x ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$ .

$- 2 \frac{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1) + (x^{2} + 1) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 3.5.2.3

Вынесем множитель $x^{2} + 1$ из $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1) + (x^{2} + 1) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]))$ .

$- 2 \frac{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 3.6

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Вынесем множитель $x^{2} + 1$ из ${(x^{2} + 1)}^{4}$ .

$- 2 \frac{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]))}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 3.6.2

Сократим общий множитель.

$- 2 \frac{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]))}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 3.6.3

Перепишем это выражение.

$- 2 \frac{x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 3.7

По правилу суммы производная $x^{2} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- 2 \frac{x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 3.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- 2 \frac{x^{2} + 1 - 2 x (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 3.9

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$- 2 \frac{x^{2} + 1 - 2 x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 3.10

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$- 2 \frac{x^{2} + 1 - 2 x (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 3.10.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$- 2 \frac{x^{2} + 1 - 4 x \cdot x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 3.11

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- 2 \frac{x^{2} + 1 - 4 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 3.12

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- 2 \frac{x^{2} + 1 - 4 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 3.13

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 2 \frac{x^{2} + 1 - 4 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 3.14

Добавим $1$ и $1$ .

$- 2 \frac{x^{2} + 1 - 4 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 3.15

Вычтем $4 x^{2}$ из $x^{2}$ .

$- 2 \frac{- 3 x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 3.16

Объединим $- 2$ и $\frac{- 3 x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$ .

$\frac{- 2 (- 3 x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 3.17

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2 (- 3 x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 3.18

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.18.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{2 (- 3 x^{2}) + 2 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 3.18.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.18.2.1

Умножим $- 3$ на $2$ .

$- \frac{- 6 x^{2} + 2 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 3.18.2.2

Умножим $2$ на $1$ .

$- \frac{- 6 x^{2} + 2}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 3.18.3

Вынесем множитель $2$ из $- 6 x^{2} + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.18.3.1

Вынесем множитель $2$ из $- 6 x^{2}$ .

$- \frac{2 (- 3 x^{2}) + 2}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 3.18.3.2

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$- \frac{2 (- 3 x^{2}) + 2 (1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 3.18.3.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (- 3 x^{2}) + 2 (1)$ .

$- \frac{2 (- 3 x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 3.18.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- 3 x^{2}$ .

$- \frac{2 (- (3 x^{2}) + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 3.18.5

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$- \frac{2 (- (3 x^{2}) - 1 (- 1))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 3.18.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- (3 x^{2}) - 1 (- 1)$ .

$- \frac{2 (- (3 x^{2} - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 3.18.7

Перепишем $- (3 x^{2} - 1)$ в виде $- 1 (3 x^{2} - 1)$ .

$- \frac{2 (- 1 (3 x^{2} - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 3.18.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- - \frac{2 (3 x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 3.18.9

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 \frac{2 (3 x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 3.18.10

Умножим $\frac{2 (3 x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$ на $1$ .

$f''' (x) = \frac{2 (3 x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 4

Найдем четвертую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{2 (3 x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2} - 1}{{(x^{2} + 1)}^{3}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2} - 1}{{(x^{2} + 1)}^{3}}]$

Этап 4.2

$2 \frac{{(x^{2} + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 1] - (3 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{3}]}{{({(x^{2} + 1)}^{3})}^{2}}$

Этап 4.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Перемножим экспоненты в ${({(x^{2} + 1)}^{3})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \frac{{(x^{2} + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 1] - (3 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{3}]}{{(x^{2} + 1)}^{3 \cdot 2}}$

Этап 4.3.1.2

Умножим $3$ на $2$ .

$2 \frac{{(x^{2} + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 1] - (3 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{3}]}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Этап 4.3.2

По правилу суммы производная $3 x^{2} - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$2 \frac{{(x^{2} + 1)}^{3} (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (3 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{3}]}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Этап 4.3.3

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{2}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{{(x^{2} + 1)}^{3} (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (3 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{3}]}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Этап 4.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 \frac{{(x^{2} + 1)}^{3} (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 1]) - (3 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{3}]}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Этап 4.3.5

Умножим $2$ на $3$ .

$2 \frac{{(x^{2} + 1)}^{3} (6 x + \frac{d}{d x} [- 1]) - (3 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{3}]}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Этап 4.3.6

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 \frac{{(x^{2} + 1)}^{3} (6 x + 0) - (3 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{3}]}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Этап 4.3.7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.7.1

Добавим $6 x$ и $0$ .

$2 \frac{{(x^{2} + 1)}^{3} (6 x) - (3 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{3}]}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Этап 4.3.7.2

Перенесем $6$ влево от ${(x^{2} + 1)}^{3}$ .

$2 \frac{6 \cdot {(x^{2} + 1)}^{3} x - (3 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{3}]}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Этап 4.4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} + 1$ .

$2 \frac{6 {(x^{2} + 1)}^{3} x - (3 x^{2} - 1) (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Этап 4.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$2 \frac{6 {(x^{2} + 1)}^{3} x - (3 x^{2} - 1) (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Этап 4.4.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} + 1$ .

$2 \frac{6 {(x^{2} + 1)}^{3} x - (3 x^{2} - 1) (3 {(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Этап 4.5

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Умножим $3$ на $- 1$ .

$2 \frac{6 {(x^{2} + 1)}^{3} x - 3 (3 x^{2} - 1) ({(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Этап 4.5.2

По правилу суммы производная $x^{2} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$2 \frac{6 {(x^{2} + 1)}^{3} x - 3 (3 x^{2} - 1) ({(x^{2} + 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Этап 4.5.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 \frac{6 {(x^{2} + 1)}^{3} x - 3 (3 x^{2} - 1) ({(x^{2} + 1)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [1]))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Этап 4.5.4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 \frac{6 {(x^{2} + 1)}^{3} x - 3 (3 x^{2} - 1) ({(x^{2} + 1)}^{2} (2 x + 0))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Этап 4.5.5

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.5.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$2 \frac{6 {(x^{2} + 1)}^{3} x - 3 (3 x^{2} - 1) ({(x^{2} + 1)}^{2} (2 x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Этап 4.5.5.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.5.2.1

Перенесем $2$ влево от ${(x^{2} + 1)}^{2}$ .

$2 \frac{6 {(x^{2} + 1)}^{3} x - 3 (3 x^{2} - 1) (2 \cdot {(x^{2} + 1)}^{2} x)}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Этап 4.5.5.2.2

Умножим $2$ на $- 3$ .

$2 \frac{6 {(x^{2} + 1)}^{3} x - 6 (3 x^{2} - 1) ({(x^{2} + 1)}^{2} x)}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Этап 4.5.5.3

Объединим $2$ и $\frac{6 {(x^{2} + 1)}^{3} x - 6 (3 x^{2} - 1) ({(x^{2} + 1)}^{2} x)}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$ .

$\frac{2 (6 {(x^{2} + 1)}^{3} x - 6 (3 x^{2} - 1) ({(x^{2} + 1)}^{2} x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Этап 4.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 (6 {(x^{2} + 1)}^{3} x + (- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 1) ({(x^{2} + 1)}^{2} x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Этап 4.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 (6 {(x^{2} + 1)}^{3} x) + 2 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 1) ({(x^{2} + 1)}^{2} x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Этап 4.6.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.3.1

Воспользуемся бином Ньютона.

$\frac{2 (6 ({(x^{2})}^{3} + 3 {(x^{2})}^{2} \cdot 1 + 3 x^{2} \cdot 1^{2} + 1^{3}) x) + 2 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 1) ({(x^{2} + 1)}^{2} x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Этап 4.6.3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.3.2.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.3.2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 (6 (x^{2 \cdot 3} + 3 {(x^{2})}^{2} \cdot 1 + 3 x^{2} \cdot 1^{2} + 1^{3}) x) + 2 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 1) ({(x^{2} + 1)}^{2} x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Этап 4.6.3.2.1.2

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{2 (6 (x^{6} + 3 {(x^{2})}^{2} \cdot 1 + 3 x^{2} \cdot 1^{2} + 1^{3}) x) + 2 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 1) ({(x^{2} + 1)}^{2} x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Этап 4.6.3.2.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.3.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 (6 (x^{6} + 3 x^{2 \cdot 2} \cdot 1 + 3 x^{2} \cdot 1^{2} + 1^{3}) x) + 2 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 1) ({(x^{2} + 1)}^{2} x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Этап 4.6.3.2.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{2 (6 (x^{6} + 3 x^{4} \cdot 1 + 3 x^{2} \cdot 1^{2} + 1^{3}) x) + 2 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 1) ({(x^{2} + 1)}^{2} x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Этап 4.6.3.2.3

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{2 (6 (x^{6} + 3 x^{4} + 3 x^{2} \cdot 1^{2} + 1^{3}) x) + 2 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 1) ({(x^{2} + 1)}^{2} x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Этап 4.6.3.2.4

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{2 (6 (x^{6} + 3 x^{4} + 3 x^{2} \cdot 1 + 1^{3}) x) + 2 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 1) ({(x^{2} + 1)}^{2} x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Этап 4.6.3.2.5

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{2 (6 (x^{6} + 3 x^{4} + 3 x^{2} + 1^{3}) x) + 2 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 1) ({(x^{2} + 1)}^{2} x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Этап 4.6.3.2.6

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{2 (6 (x^{6} + 3 x^{4} + 3 x^{2} + 1) x) + 2 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 1) ({(x^{2} + 1)}^{2} x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Этап 4.6.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 ((6 x^{6} + 6 (3 x^{4}) + 6 (3 x^{2}) + 6 \cdot 1) x) + 2 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 1) ({(x^{2} + 1)}^{2} x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Этап 4.6.3.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.3.4.1

Умножим $3$ на $6$ .

$\frac{2 ((6 x^{6} + 18 x^{4} + 6 (3 x^{2}) + 6 \cdot 1) x) + 2 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 1) ({(x^{2} + 1)}^{2} x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Этап 4.6.3.4.2

Умножим $3$ на $6$ .

$\frac{2 ((6 x^{6} + 18 x^{4} + 18 x^{2} + 6 \cdot 1) x) + 2 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 1) ({(x^{2} + 1)}^{2} x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Этап 4.6.3.4.3

Умножим $6$ на $1$ .

$\frac{2 ((6 x^{6} + 18 x^{4} + 18 x^{2} + 6) x) + 2 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 1) ({(x^{2} + 1)}^{2} x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Этап 4.6.3.5

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 (6 x^{6} x + 18 x^{4} x + 18 x^{2} x + 6 x) + 2 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 1) ({(x^{2} + 1)}^{2} x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Этап 4.6.3.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.3.6.1

Умножим $x^{6}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.3.6.1.1

Перенесем $x$ .

$\frac{2 (6 (x \cdot x^{6}) + 18 x^{4} x + 18 x^{2} x + 6 x) + 2 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 1) ({(x^{2} + 1)}^{2} x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Этап 4.6.3.6.1.2

Умножим $x$ на $x^{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.3.6.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{2 (6 (x^{1} x^{6}) + 18 x^{4} x + 18 x^{2} x + 6 x) + 2 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 1) ({(x^{2} + 1)}^{2} x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Этап 4.6.3.6.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 (6 x^{1 + 6} + 18 x^{4} x + 18 x^{2} x + 6 x) + 2 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 1) ({(x^{2} + 1)}^{2} x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Этап 4.6.3.6.1.3

Добавим $1$ и $6$ .

$\frac{2 (6 x^{7} + 18 x^{4} x + 18 x^{2} x + 6 x) + 2 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 1) ({(x^{2} + 1)}^{2} x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Этап 4.6.3.6.2

Умножим $x^{4}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.3.6.2.1

Перенесем $x$ .

$\frac{2 (6 x^{7} + 18 (x \cdot x^{4}) + 18 x^{2} x + 6 x) + 2 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 1) ({(x^{2} + 1)}^{2} x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Этап 4.6.3.6.2.2

Умножим $x$ на $x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.3.6.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{2 (6 x^{7} + 18 (x^{1} x^{4}) + 18 x^{2} x + 6 x) + 2 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 1) ({(x^{2} + 1)}^{2} x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Этап 4.6.3.6.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 (6 x^{7} + 18 x^{1 + 4} + 18 x^{2} x + 6 x) + 2 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 1) ({(x^{2} + 1)}^{2} x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Этап 4.6.3.6.2.3

Добавим $1$ и $4$ .

$\frac{2 (6 x^{7} + 18 x^{5} + 18 x^{2} x + 6 x) + 2 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 1) ({(x^{2} + 1)}^{2} x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Этап 4.6.3.6.3

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.3.6.3.1

Перенесем $x$ .

$\frac{2 (6 x^{7} + 18 x^{5} + 18 (x \cdot x^{2}) + 6 x) + 2 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 1) ({(x^{2} + 1)}^{2} x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Этап 4.6.3.6.3.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.3.6.3.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{2 (6 x^{7} + 18 x^{5} + 18 (x^{1} x^{2}) + 6 x) + 2 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 1) ({(x^{2} + 1)}^{2} x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Этап 4.6.3.6.3.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 (6 x^{7} + 18 x^{5} + 18 x^{1 + 2} + 6 x) + 2 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 1) ({(x^{2} + 1)}^{2} x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Этап 4.6.3.6.3.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{2 (6 x^{7} + 18 x^{5} + 18 x^{3} + 6 x) + 2 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 1) ({(x^{2} + 1)}^{2} x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Этап 4.6.3.7

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 (6 x^{7}) + 2 (18 x^{5}) + 2 (18 x^{3}) + 2 (6 x) + 2 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 1) ({(x^{2} + 1)}^{2} x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Этап 4.6.3.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.3.8.1

Умножим $6$ на $2$ .

$\frac{12 x^{7} + 2 (18 x^{5}) + 2 (18 x^{3}) + 2 (6 x) + 2 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 1) ({(x^{2} + 1)}^{2} x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Этап 4.6.3.8.2

Умножим $18$ на $2$ .

$\frac{12 x^{7} + 36 x^{5} + 2 (18 x^{3}) + 2 (6 x) + 2 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 1) ({(x^{2} + 1)}^{2} x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Этап 4.6.3.8.3

Умножим $18$ на $2$ .

$\frac{12 x^{7} + 36 x^{5} + 36 x^{3} + 2 (6 x) + 2 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 1) ({(x^{2} + 1)}^{2} x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Этап 4.6.3.8.4

Умножим $6$ на $2$ .

$\frac{12 x^{7} + 36 x^{5} + 36 x^{3} + 12 x + 2 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 1) ({(x^{2} + 1)}^{2} x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Этап 4.6.3.9

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.3.9.1

Умножим $3$ на $- 6$ .

$\frac{12 x^{7} + 36 x^{5} + 36 x^{3} + 12 x + 2 ((- 18 x^{2} - 6 \cdot - 1) ({(x^{2} + 1)}^{2} x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Этап 4.6.3.9.2

Умножим $- 6$ на $- 1$ .

$\frac{12 x^{7} + 36 x^{5} + 36 x^{3} + 12 x + 2 ((- 18 x^{2} + 6) ({(x^{2} + 1)}^{2} x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Этап 4.6.3.10

Перепишем ${(x^{2} + 1)}^{2}$ в виде $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ .

$\frac{12 x^{7} + 36 x^{5} + 36 x^{3} + 12 x + 2 ((- 18 x^{2} + 6) ((x^{2} + 1) (x^{2} + 1) x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Этап 4.6.3.11

Развернем $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.3.11.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{12 x^{7} + 36 x^{5} + 36 x^{3} + 12 x + 2 ((- 18 x^{2} + 6) ((x^{2} (x^{2} + 1) + 1 (x^{2} + 1)) x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Этап 4.6.3.11.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{12 x^{7} + 36 x^{5} + 36 x^{3} + 12 x + 2 ((- 18 x^{2} + 6) ((x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 (x^{2} + 1)) x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Этап 4.6.3.11.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{12 x^{7} + 36 x^{5} + 36 x^{3} + 12 x + 2 ((- 18 x^{2} + 6) ((x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Этап 4.6.3.12

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.3.12.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.3.12.1.1

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.3.12.1.1.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{12 x^{7} + 36 x^{5} + 36 x^{3} + 12 x + 2 ((- 18 x^{2} + 6) ((x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Этап 4.6.3.12.1.1.2

Добавим $2$ и $2$ .

$\frac{12 x^{7} + 36 x^{5} + 36 x^{3} + 12 x + 2 ((- 18 x^{2} + 6) ((x^{4} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Этап 4.6.3.12.1.2

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$\frac{12 x^{7} + 36 x^{5} + 36 x^{3} + 12 x + 2 ((- 18 x^{2} + 6) ((x^{4} + x^{2} + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Этап 4.6.3.12.1.3

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$\frac{12 x^{7} + 36 x^{5} + 36 x^{3} + 12 x + 2 ((- 18 x^{2} + 6) ((x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1 \cdot 1) x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Этап 4.6.3.12.1.4

Умножим $1$ на $1$ .

$\frac{12 x^{7} + 36 x^{5} + 36 x^{3} + 12 x + 2 ((- 18 x^{2} + 6) ((x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1) x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Этап 4.6.3.12.2

Добавим $x^{2}$ и $x^{2}$ .

$\frac{12 x^{7} + 36 x^{5} + 36 x^{3} + 12 x + 2 ((- 18 x^{2} + 6) ((x^{4} + 2 x^{2} + 1) x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Этап 4.6.3.13

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{12 x^{7} + 36 x^{5} + 36 x^{3} + 12 x + 2 ((- 18 x^{2} + 6) (x^{4} x + 2 x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Этап 4.6.3.14

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.3.14.1

Умножим $x^{4}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.3.14.1.1

Умножим $x^{4}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.3.14.1.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{12 x^{7} + 36 x^{5} + 36 x^{3} + 12 x + 2 ((- 18 x^{2} + 6) (x^{4} x^{1} + 2 x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Этап 4.6.3.14.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{12 x^{7} + 36 x^{5} + 36 x^{3} + 12 x + 2 ((- 18 x^{2} + 6) (x^{4 + 1} + 2 x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Этап 4.6.3.14.1.2

Добавим $4$ и $1$ .

$\frac{12 x^{7} + 36 x^{5} + 36 x^{3} + 12 x + 2 ((- 18 x^{2} + 6) (x^{5} + 2 x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Этап 4.6.3.14.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.3.14.2.1

Перенесем $x$ .

$\frac{12 x^{7} + 36 x^{5} + 36 x^{3} + 12 x + 2 ((- 18 x^{2} + 6) (x^{5} + 2 (x \cdot x^{2}) + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Этап 4.6.3.14.2.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.3.14.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{12 x^{7} + 36 x^{5} + 36 x^{3} + 12 x + 2 ((- 18 x^{2} + 6) (x^{5} + 2 (x^{1} x^{2}) + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Этап 4.6.3.14.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{12 x^{7} + 36 x^{5} + 36 x^{3} + 12 x + 2 ((- 18 x^{2} + 6) (x^{5} + 2 x^{1 + 2} + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Этап 4.6.3.14.2.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{12 x^{7} + 36 x^{5} + 36 x^{3} + 12 x + 2 ((- 18 x^{2} + 6) (x^{5} + 2 x^{3} + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Этап 4.6.3.14.3

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{12 x^{7} + 36 x^{5} + 36 x^{3} + 12 x + 2 ((- 18 x^{2} + 6) (x^{5} + 2 x^{3} + x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Этап 4.6.3.15

Развернем $(- 18 x^{2} + 6) (x^{5} + 2 x^{3} + x)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$\frac{12 x^{7} + 36 x^{5} + 36 x^{3} + 12 x + 2 (- 18 x^{2} x^{5} - 18 x^{2} (2 x^{3}) - 18 x^{2} x + 6 x^{5} + 6 (2 x^{3}) + 6 x)}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Этап 4.6.3.16

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.3.16.1

Умножим $x^{2}$ на $x^{5}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.3.16.1.1

Перенесем $x^{5}$ .

$\frac{12 x^{7} + 36 x^{5} + 36 x^{3} + 12 x + 2 (- 18 (x^{5} x^{2}) - 18 x^{2} (2 x^{3}) - 18 x^{2} x + 6 x^{5} + 6 (2 x^{3}) + 6 x)}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Этап 4.6.3.16.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{12 x^{7} + 36 x^{5} + 36 x^{3} + 12 x + 2 (- 18 x^{5 + 2} - 18 x^{2} (2 x^{3}) - 18 x^{2} x + 6 x^{5} + 6 (2 x^{3}) + 6 x)}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Этап 4.6.3.16.1.3

Добавим $5$ и $2$ .

$\frac{12 x^{7} + 36 x^{5} + 36 x^{3} + 12 x + 2 (- 18 x^{7} - 18 x^{2} (2 x^{3}) - 18 x^{2} x + 6 x^{5} + 6 (2 x^{3}) + 6 x)}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Этап 4.6.3.16.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{12 x^{7} + 36 x^{5} + 36 x^{3} + 12 x + 2 (- 18 x^{7} - 18 \cdot 2 x^{2} x^{3} - 18 x^{2} x + 6 x^{5} + 6 (2 x^{3}) + 6 x)}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Этап 4.6.3.16.3

Умножим $x^{2}$ на $x^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.3.16.3.1

Перенесем $x^{3}$ .

$\frac{12 x^{7} + 36 x^{5} + 36 x^{3} + 12 x + 2 (- 18 x^{7} - 18 \cdot 2 (x^{3} x^{2}) - 18 x^{2} x + 6 x^{5} + 6 (2 x^{3}) + 6 x)}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Этап 4.6.3.16.3.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{12 x^{7} + 36 x^{5} + 36 x^{3} + 12 x + 2 (- 18 x^{7} - 18 \cdot 2 x^{3 + 2} - 18 x^{2} x + 6 x^{5} + 6 (2 x^{3}) + 6 x)}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Этап 4.6.3.16.3.3

Добавим $3$ и $2$ .

$\frac{12 x^{7} + 36 x^{5} + 36 x^{3} + 12 x + 2 (- 18 x^{7} - 18 \cdot 2 x^{5} - 18 x^{2} x + 6 x^{5} + 6 (2 x^{3}) + 6 x)}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Этап 4.6.3.16.4

Умножим $- 18$ на $2$ .

$\frac{12 x^{7} + 36 x^{5} + 36 x^{3} + 12 x + 2 (- 18 x^{7} - 36 x^{5} - 18 x^{2} x + 6 x^{5} + 6 (2 x^{3}) + 6 x)}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Этап 4.6.3.16.5

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.3.16.5.1

Перенесем $x$ .

$\frac{12 x^{7} + 36 x^{5} + 36 x^{3} + 12 x + 2 (- 18 x^{7} - 36 x^{5} - 18 (x \cdot x^{2}) + 6 x^{5} + 6 (2 x^{3}) + 6 x)}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Этап 4.6.3.16.5.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.3.16.5.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{12 x^{7} + 36 x^{5} + 36 x^{3} + 12 x + 2 (- 18 x^{7} - 36 x^{5} - 18 (x^{1} x^{2}) + 6 x^{5} + 6 (2 x^{3}) + 6 x)}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Этап 4.6.3.16.5.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{12 x^{7} + 36 x^{5} + 36 x^{3} + 12 x + 2 (- 18 x^{7} - 36 x^{5} - 18 x^{1 + 2} + 6 x^{5} + 6 (2 x^{3}) + 6 x)}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Этап 4.6.3.16.5.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{12 x^{7} + 36 x^{5} + 36 x^{3} + 12 x + 2 (- 18 x^{7} - 36 x^{5} - 18 x^{3} + 6 x^{5} + 6 (2 x^{3}) + 6 x)}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Этап 4.6.3.16.6

Умножим $2$ на $6$ .

$\frac{12 x^{7} + 36 x^{5} + 36 x^{3} + 12 x + 2 (- 18 x^{7} - 36 x^{5} - 18 x^{3} + 6 x^{5} + 12 x^{3} + 6 x)}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Этап 4.6.3.17

Добавим $- 36 x^{5}$ и $6 x^{5}$ .

$\frac{12 x^{7} + 36 x^{5} + 36 x^{3} + 12 x + 2 (- 18 x^{7} - 30 x^{5} - 18 x^{3} + 12 x^{3} + 6 x)}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Этап 4.6.3.18

Добавим $- 18 x^{3}$ и $12 x^{3}$ .

$\frac{12 x^{7} + 36 x^{5} + 36 x^{3} + 12 x + 2 (- 18 x^{7} - 30 x^{5} - 6 x^{3} + 6 x)}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Этап 4.6.3.19

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{12 x^{7} + 36 x^{5} + 36 x^{3} + 12 x + 2 (- 18 x^{7}) + 2 (- 30 x^{5}) + 2 (- 6 x^{3}) + 2 (6 x)}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Этап 4.6.3.20

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.3.20.1

Умножим $- 18$ на $2$ .

$\frac{12 x^{7} + 36 x^{5} + 36 x^{3} + 12 x - 36 x^{7} + 2 (- 30 x^{5}) + 2 (- 6 x^{3}) + 2 (6 x)}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Этап 4.6.3.20.2

Умножим $- 30$ на $2$ .

$\frac{12 x^{7} + 36 x^{5} + 36 x^{3} + 12 x - 36 x^{7} - 60 x^{5} + 2 (- 6 x^{3}) + 2 (6 x)}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Этап 4.6.3.20.3

Умножим $- 6$ на $2$ .

$\frac{12 x^{7} + 36 x^{5} + 36 x^{3} + 12 x - 36 x^{7} - 60 x^{5} - 12 x^{3} + 2 (6 x)}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Этап 4.6.3.20.4

Умножим $6$ на $2$ .

$\frac{12 x^{7} + 36 x^{5} + 36 x^{3} + 12 x - 36 x^{7} - 60 x^{5} - 12 x^{3} + 12 x}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Этап 4.6.3.21

Вычтем $36 x^{7}$ из $12 x^{7}$ .

$\frac{- 24 x^{7} + 36 x^{5} + 36 x^{3} + 12 x - 60 x^{5} - 12 x^{3} + 12 x}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Этап 4.6.3.22

Вычтем $60 x^{5}$ из $36 x^{5}$ .

$\frac{- 24 x^{7} - 24 x^{5} + 36 x^{3} + 12 x - 12 x^{3} + 12 x}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Этап 4.6.3.23

Вычтем $12 x^{3}$ из $36 x^{3}$ .

$\frac{- 24 x^{7} - 24 x^{5} + 24 x^{3} + 12 x + 12 x}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Этап 4.6.3.24

Добавим $12 x$ и $12 x$ .

$\frac{- 24 x^{7} - 24 x^{5} + 24 x^{3} + 24 x}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Этап 4.6.3.25

Перепишем $- 24 x^{7} - 24 x^{5} + 24 x^{3} + 24 x$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.3.25.1

Вынесем множитель $24 x$ из $- 24 x^{7} - 24 x^{5} + 24 x^{3} + 24 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.3.25.1.1

Вынесем множитель $24 x$ из $- 24 x^{7}$ .

$\frac{24 x (- x^{6}) - 24 x^{5} + 24 x^{3} + 24 x}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Этап 4.6.3.25.1.2

Вынесем множитель $24 x$ из $- 24 x^{5}$ .

$\frac{24 x (- x^{6}) + 24 x (- x^{4}) + 24 x^{3} + 24 x}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Этап 4.6.3.25.1.3

Вынесем множитель $24 x$ из $24 x^{3}$ .

$\frac{24 x (- x^{6}) + 24 x (- x^{4}) + 24 x (x^{2}) + 24 x}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Этап 4.6.3.25.1.4

Вынесем множитель $24 x$ из $24 x$ .

$\frac{24 x (- x^{6}) + 24 x (- x^{4}) + 24 x (x^{2}) + 24 x (1)}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Этап 4.6.3.25.1.5

Вынесем множитель $24 x$ из $24 x (- x^{6}) + 24 x (- x^{4})$ .

$\frac{24 x (- x^{6} - x^{4}) + 24 x (x^{2}) + 24 x (1)}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Этап 4.6.3.25.1.6

Вынесем множитель $24 x$ из $24 x (- x^{6} - x^{4}) + 24 x (x^{2})$ .

$\frac{24 x (- x^{6} - x^{4} + x^{2}) + 24 x (1)}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Этап 4.6.3.25.1.7

Вынесем множитель $24 x$ из $24 x (- x^{6} - x^{4} + x^{2}) + 24 x (1)$ .

$\frac{24 x (- x^{6} - x^{4} + x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Этап 4.6.3.25.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.3.25.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{24 x ((- x^{6} - x^{4}) + x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Этап 4.6.3.25.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{24 x (x^{4} (- x^{2} - 1) - 1 (- x^{2} - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Этап 4.6.3.25.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $- x^{2} - 1$ .

$\frac{24 x ((- x^{2} - 1) (x^{4} - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Этап 4.6.3.25.4

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$\frac{24 x ((- x^{2} - 1) ({(x^{2})}^{2} - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Этап 4.6.3.25.5

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{24 x ((- x^{2} - 1) ({(x^{2})}^{2} - 1^{2}))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Этап 4.6.3.25.6

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x^{2}$ и $b = 1$ .

$\frac{24 x ((- x^{2} - 1) ((x^{2} + 1) (x^{2} - 1)))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Этап 4.6.3.25.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.3.25.7.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{24 x ((- x^{2} - 1) ((x^{2} + 1) (x^{2} - 1^{2})))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Этап 4.6.3.25.7.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$\frac{24 x ((- x^{2} - 1) ((x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

$\frac{24 x ((- x^{2} - 1) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Этап 4.6.3.25.8

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.3.25.8.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{2}$ .

$\frac{24 x ((- (x^{2}) - 1) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Этап 4.6.3.25.8.2

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$\frac{24 x ((- (x^{2}) - 1 (1)) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Этап 4.6.3.25.8.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2}) - 1 (1)$ .

$\frac{24 x (- (x^{2} + 1) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Этап 4.6.3.25.8.4

Перепишем $- (x^{2} + 1)$ в виде $- 1 (x^{2} + 1)$ .

$\frac{24 x (- 1 (x^{2} + 1) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Этап 4.6.3.25.8.5

Возведем $x^{2} + 1$ в степень $1$ .

$\frac{24 x (- 1 ({(x^{2} + 1)}^{1} (x^{2} + 1)) (x + 1) (x - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Этап 4.6.3.25.8.6

Возведем $x^{2} + 1$ в степень $1$ .

$\frac{24 x (- 1 ({(x^{2} + 1)}^{1} {(x^{2} + 1)}^{1}) (x + 1) (x - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Этап 4.6.3.25.8.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{24 x (- 1 {(x^{2} + 1)}^{1 + 1} (x + 1) (x - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Этап 4.6.3.25.8.8

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{24 x (- 1 {(x^{2} + 1)}^{2} (x + 1) (x - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

$\frac{24 x \cdot - 1 {(x^{2} + 1)}^{2} (x + 1) (x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Этап 4.6.3.25.9

Умножим $- 1$ на $24$ .

$\frac{- 24 x {(x^{2} + 1)}^{2} (x + 1) (x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Этап 4.6.4

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.4.1

Сократим общий множитель ${(x^{2} + 1)}^{2}$ и ${(x^{2} + 1)}^{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.4.1.1

Вынесем множитель ${(x^{2} + 1)}^{2}$ из $- 24 x {(x^{2} + 1)}^{2} (x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} ((- 24 x (x + 1)) (x - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Этап 4.6.4.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.4.1.2.1

Вынесем множитель ${(x^{2} + 1)}^{2}$ из ${(x^{2} + 1)}^{6}$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} ((- 24 x (x + 1)) (x - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{2} {(x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 4.6.4.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} ((- 24 x (x + 1)) (x - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{2} {(x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 4.6.4.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{(- 24 x (x + 1)) (x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 4.6.4.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f^{4} (x) = - \frac{24 x (x + 1) (x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$