Математический анализ Примеры

$f (x) = {(2 x + 7)}^{3}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = 2 x + 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x + 7$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [2 x + 7]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [2 x + 7]$

Этап 1.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x + 7$ .

$3 {(2 x + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [2 x + 7]$

Этап 1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

По правилу суммы производная $2 x + 7$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$3 {(2 x + 7)}^{2} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [7])$

Этап 1.2.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 {(2 x + 7)}^{2} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7])$

Этап 1.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 {(2 x + 7)}^{2} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7])$

Этап 1.2.4

Умножим $2$ на $1$ .

$3 {(2 x + 7)}^{2} (2 + \frac{d}{d x} [7])$

Этап 1.2.5

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $7$ относительно $x$ равна $0$ .

$3 {(2 x + 7)}^{2} (2 + 0)$

Этап 1.2.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Добавим $2$ и $0$ .

$3 {(2 x + 7)}^{2} \cdot 2$

Этап 1.2.6.2

Умножим $2$ на $3$ .

$f' (x) = 6 {(2 x + 7)}^{2}$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем ${(2 x + 7)}^{2}$ в виде $(2 x + 7) (2 x + 7)$ .

$\frac{d}{d x} [6 ((2 x + 7) (2 x + 7))]$

Этап 2.2

Развернем $(2 x + 7) (2 x + 7)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [6 (2 x (2 x + 7) + 7 (2 x + 7))]$

Этап 2.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [6 (2 x (2 x) + 2 x \cdot 7 + 7 (2 x + 7))]$

Этап 2.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [6 (2 x (2 x) + 2 x \cdot 7 + 7 (2 x) + 7 \cdot 7)]$

Этап 2.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{d}{d x} [6 (2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot 7 + 7 (2 x) + 7 \cdot 7)]$

Этап 2.3.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1

Перенесем $x$ .

$\frac{d}{d x} [6 (2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot 7 + 7 (2 x) + 7 \cdot 7)]$

Этап 2.3.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{d}{d x} [6 (2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot 7 + 7 (2 x) + 7 \cdot 7)]$

Этап 2.3.1.3

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{d}{d x} [6 (4 x^{2} + 2 x \cdot 7 + 7 (2 x) + 7 \cdot 7)]$

Этап 2.3.1.4

Умножим $7$ на $2$ .

$\frac{d}{d x} [6 (4 x^{2} + 14 x + 7 (2 x) + 7 \cdot 7)]$

Этап 2.3.1.5

Умножим $2$ на $7$ .

$\frac{d}{d x} [6 (4 x^{2} + 14 x + 14 x + 7 \cdot 7)]$

Этап 2.3.1.6

Умножим $7$ на $7$ .

$\frac{d}{d x} [6 (4 x^{2} + 14 x + 14 x + 49)]$

Этап 2.3.2

Добавим $14 x$ и $14 x$ .

$\frac{d}{d x} [6 (4 x^{2} + 28 x + 49)]$

Этап 2.4

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 (4 x^{2} + 28 x + 49)$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 28 x + 49]$ .

$6 \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 28 x + 49]$

Этап 2.5

По правилу суммы производная $4 x^{2} + 28 x + 49$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [28 x] + \frac{d}{d x} [49]$ .

$6 (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [28 x] + \frac{d}{d x} [49])$

Этап 2.6

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{2}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [28 x] + \frac{d}{d x} [49])$

Этап 2.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$6 (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [28 x] + \frac{d}{d x} [49])$

Этап 2.8

Умножим $2$ на $4$ .

$6 (8 x + \frac{d}{d x} [28 x] + \frac{d}{d x} [49])$

Этап 2.9

Поскольку $28$ является константой относительно $x$ , производная $28 x$ по $x$ равна $28 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 (8 x + 28 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [49])$

Этап 2.10

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$6 (8 x + 28 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [49])$

Этап 2.11

Умножим $28$ на $1$ .

$6 (8 x + 28 + \frac{d}{d x} [49])$

Этап 2.12

Поскольку $49$ является константой относительно $x$ , производная $49$ относительно $x$ равна $0$ .

$6 (8 x + 28 + 0)$

Этап 2.13

Добавим $8 x + 28$ и $0$ .

$6 (8 x + 28)$

Этап 2.14

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.14.1

Применим свойство дистрибутивности.

$6 (8 x) + 6 \cdot 28$

Этап 2.14.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.14.2.1

Умножим $8$ на $6$ .

$48 x + 6 \cdot 28$

Этап 2.14.2.2

Умножим $6$ на $28$ .

$f'' (x) = 48 x + 168$

Этап 3

Найдем третью производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $48 x + 168$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [48 x] + \frac{d}{d x} [168]$ .

$\frac{d}{d x} [48 x] + \frac{d}{d x} [168]$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [48 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $48$ является константой относительно $x$ , производная $48 x$ по $x$ равна $48 \frac{d}{d x} [x]$ .

$48 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [168]$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$48 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [168]$

Этап 3.2.3

Умножим $48$ на $1$ .

$48 + \frac{d}{d x} [168]$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $168$ является константой относительно $x$ , производная $168$ относительно $x$ равна $0$ .

$48 + 0$

Этап 3.3.2

Добавим $48$ и $0$ .

$f''' (x) = 48$

Этап 4

Поскольку $48$ является константой относительно $x$ , производная $48$ относительно $x$ равна $0$ .

$f^{4} (x) = 0$

Этап 5

Четвертая производная $f (x)$ по $x$ равна $0$ .

$0$