Математический анализ Примеры

$f (x) = {(8 x + 3)}^{4}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{4}$ и $g (x) = 8 x + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $8 x + 3$ .

$\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [8 x + 3]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$4 u^{3} \frac{d}{d x} [8 x + 3]$

Этап 1.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $8 x + 3$ .

$4 {(8 x + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [8 x + 3]$

Этап 1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

По правилу суммы производная $8 x + 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$4 {(8 x + 3)}^{3} (\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [3])$

Этап 1.2.2

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8 x$ по $x$ равна $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 {(8 x + 3)}^{3} (8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])$

Этап 1.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 {(8 x + 3)}^{3} (8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3])$

Этап 1.2.4

Умножим $8$ на $1$ .

$4 {(8 x + 3)}^{3} (8 + \frac{d}{d x} [3])$

Этап 1.2.5

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$4 {(8 x + 3)}^{3} (8 + 0)$

Этап 1.2.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Добавим $8$ и $0$ .

$4 {(8 x + 3)}^{3} \cdot 8$

Этап 1.2.6.2

Умножим $8$ на $4$ .

$f' (x) = 32 {(8 x + 3)}^{3}$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $32$ является константой относительно $x$ , производная $32 {(8 x + 3)}^{3}$ по $x$ равна $32 \frac{d}{d x} [{(8 x + 3)}^{3}]$ .

$32 \frac{d}{d x} [{(8 x + 3)}^{3}]$

Этап 2.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $8 x + 3$ .

$32 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [8 x + 3])$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$32 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [8 x + 3])$

Этап 2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $8 x + 3$ .

$32 (3 {(8 x + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [8 x + 3])$

Этап 2.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим $3$ на $32$ .

$96 ({(8 x + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [8 x + 3])$

Этап 2.3.2

По правилу суммы производная $8 x + 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$96 {(8 x + 3)}^{2} (\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [3])$

Этап 2.3.3

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8 x$ по $x$ равна $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$96 {(8 x + 3)}^{2} (8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])$

Этап 2.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$96 {(8 x + 3)}^{2} (8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3])$

Этап 2.3.5

Умножим $8$ на $1$ .

$96 {(8 x + 3)}^{2} (8 + \frac{d}{d x} [3])$

Этап 2.3.6

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$96 {(8 x + 3)}^{2} (8 + 0)$

Этап 2.3.7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.1

Добавим $8$ и $0$ .

$96 {(8 x + 3)}^{2} \cdot 8$

Этап 2.3.7.2

Умножим $8$ на $96$ .

$f'' (x) = 768 {(8 x + 3)}^{2}$

Этап 3

Найдем третью производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем ${(8 x + 3)}^{2}$ в виде $(8 x + 3) (8 x + 3)$ .

$\frac{d}{d x} [768 ((8 x + 3) (8 x + 3))]$

Этап 3.2

Развернем $(8 x + 3) (8 x + 3)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [768 (8 x (8 x + 3) + 3 (8 x + 3))]$

Этап 3.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [768 (8 x (8 x) + 8 x \cdot 3 + 3 (8 x + 3))]$

Этап 3.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [768 (8 x (8 x) + 8 x \cdot 3 + 3 (8 x) + 3 \cdot 3)]$

Этап 3.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{d}{d x} [768 (8 \cdot 8 x \cdot x + 8 x \cdot 3 + 3 (8 x) + 3 \cdot 3)]$

Этап 3.3.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.1

Перенесем $x$ .

$\frac{d}{d x} [768 (8 \cdot 8 (x \cdot x) + 8 x \cdot 3 + 3 (8 x) + 3 \cdot 3)]$

Этап 3.3.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{d}{d x} [768 (8 \cdot 8 x^{2} + 8 x \cdot 3 + 3 (8 x) + 3 \cdot 3)]$

Этап 3.3.1.3

Умножим $8$ на $8$ .

$\frac{d}{d x} [768 (64 x^{2} + 8 x \cdot 3 + 3 (8 x) + 3 \cdot 3)]$

Этап 3.3.1.4

Умножим $3$ на $8$ .

$\frac{d}{d x} [768 (64 x^{2} + 24 x + 3 (8 x) + 3 \cdot 3)]$

Этап 3.3.1.5

Умножим $8$ на $3$ .

$\frac{d}{d x} [768 (64 x^{2} + 24 x + 24 x + 3 \cdot 3)]$

Этап 3.3.1.6

Умножим $3$ на $3$ .

$\frac{d}{d x} [768 (64 x^{2} + 24 x + 24 x + 9)]$

Этап 3.3.2

Добавим $24 x$ и $24 x$ .

$\frac{d}{d x} [768 (64 x^{2} + 48 x + 9)]$

Этап 3.4

Поскольку $768$ является константой относительно $x$ , производная $768 (64 x^{2} + 48 x + 9)$ по $x$ равна $768 \frac{d}{d x} [64 x^{2} + 48 x + 9]$ .

$768 \frac{d}{d x} [64 x^{2} + 48 x + 9]$

Этап 3.5

По правилу суммы производная $64 x^{2} + 48 x + 9$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [64 x^{2}] + \frac{d}{d x} [48 x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$768 (\frac{d}{d x} [64 x^{2}] + \frac{d}{d x} [48 x] + \frac{d}{d x} [9])$

Этап 3.6

Поскольку $64$ является константой относительно $x$ , производная $64 x^{2}$ по $x$ равна $64 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$768 (64 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [48 x] + \frac{d}{d x} [9])$

Этап 3.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$768 (64 (2 x) + \frac{d}{d x} [48 x] + \frac{d}{d x} [9])$

Этап 3.8

Умножим $2$ на $64$ .

$768 (128 x + \frac{d}{d x} [48 x] + \frac{d}{d x} [9])$

Этап 3.9

Поскольку $48$ является константой относительно $x$ , производная $48 x$ по $x$ равна $48 \frac{d}{d x} [x]$ .

$768 (128 x + 48 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9])$

Этап 3.10

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$768 (128 x + 48 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9])$

Этап 3.11

Умножим $48$ на $1$ .

$768 (128 x + 48 + \frac{d}{d x} [9])$

Этап 3.12

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9$ относительно $x$ равна $0$ .

$768 (128 x + 48 + 0)$

Этап 3.13

Добавим $128 x + 48$ и $0$ .

$768 (128 x + 48)$

Этап 3.14

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.14.1

Применим свойство дистрибутивности.

$768 (128 x) + 768 \cdot 48$

Этап 3.14.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.14.2.1

Умножим $128$ на $768$ .

$98304 x + 768 \cdot 48$

Этап 3.14.2.2

Умножим $768$ на $48$ .

$f''' (x) = 98304 x + 36864$

Этап 4

Найдем четвертую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

По правилу суммы производная $98304 x + 36864$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [98304 x] + \frac{d}{d x} [36864]$ .

$\frac{d}{d x} [98304 x] + \frac{d}{d x} [36864]$

Этап 4.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [98304 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Поскольку $98304$ является константой относительно $x$ , производная $98304 x$ по $x$ равна $98304 \frac{d}{d x} [x]$ .

$98304 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [36864]$

Этап 4.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$98304 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [36864]$

Этап 4.2.3

Умножим $98304$ на $1$ .

$98304 + \frac{d}{d x} [36864]$

Этап 4.3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Поскольку $36864$ является константой относительно $x$ , производная $36864$ относительно $x$ равна $0$ .

$98304 + 0$

Этап 4.3.2

Добавим $98304$ и $0$ .

$f^{4} (x) = 98304$

Этап 5

Четвертая производная $f (x)$ по $x$ равна $98304$ .

$98304$