Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{x^{2} + 16}{2 x}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Поскольку $\frac{1}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{x^{2} + 16}{2 x}$ по $x$ равна $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} + 16}{x}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} + 16}{x}]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x^{2} + 16$ и $g (x) = x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x \frac{d}{d x} [x^{2} + 16] - (x^{2} + 16) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

По правилу суммы производная $x^{2} + 16$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]) - (x^{2} + 16) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (2 x + \frac{d}{d x} [16]) - (x^{2} + 16) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 1.3.3

Поскольку $16$ является константой относительно $x$ , производная $16$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (2 x + 0) - (x^{2} + 16) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 1.3.4

Добавим $2 x$ и $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (2 x) - (x^{2} + 16) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 1.4

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 (x^{1} x) - (x^{2} + 16) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 1.5

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 (x^{1} x^{1}) - (x^{2} + 16) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 1.6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 x^{1 + 1} - (x^{2} + 16) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 1.7

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 x^{2} - (x^{2} + 16) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 1.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 x^{2} - (x^{2} + 16) \cdot 1}{x^{2}}$

Этап 1.9

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 x^{2} - (x^{2} + 16)}{x^{2}}$

Этап 1.9.2

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{2 x^{2} - (x^{2} + 16)}{x^{2}}$ .

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} + 16)}{2 x^{2}}$

Этап 1.10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.10.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x^{2} - x^{2} - 1 \cdot 16}{2 x^{2}}$

Этап 1.10.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.10.2.1

Умножим $- 1$ на $16$ .

$\frac{2 x^{2} - x^{2} - 16}{2 x^{2}}$

Этап 1.10.2.2

Вычтем $x^{2}$ из $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 16}{2 x^{2}}$

Этап 1.10.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.10.3.1

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 4^{2}}{2 x^{2}}$

Этап 1.10.3.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 4$ .

$f' (x) = \frac{(x + 4) (x - 4)}{2 x^{2}}$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $\frac{1}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{(x + 4) (x - 4)}{2 x^{2}}$ по $x$ равна $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{(x + 4) (x - 4)}{x^{2}}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{(x + 4) (x - 4)}{x^{2}}]$

Этап 2.2

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [(x + 4) (x - 4)] - (x + 4) (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Этап 2.3

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [(x + 4) (x - 4)] - (x + 4) (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

Этап 2.3.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [(x + 4) (x - 4)] - (x + 4) (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x + 4$ и $g (x) = x - 4$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} ((x + 4) \frac{d}{d x} [x - 4] + (x - 4) \frac{d}{d x} [x + 4]) - (x + 4) (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 2.5

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

По правилу суммы производная $x - 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} ((x + 4) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]) + (x - 4) \frac{d}{d x} [x + 4]) - (x + 4) (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 2.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} ((x + 4) (1 + \frac{d}{d x} [- 4]) + (x - 4) \frac{d}{d x} [x + 4]) - (x + 4) (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 2.5.3

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} ((x + 4) (1 + 0) + (x - 4) \frac{d}{d x} [x + 4]) - (x + 4) (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 2.5.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} ((x + 4) \cdot 1 + (x - 4) \frac{d}{d x} [x + 4]) - (x + 4) (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 2.5.4.2

Умножим $x + 4$ на $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} (x + 4 + (x - 4) \frac{d}{d x} [x + 4]) - (x + 4) (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 2.5.5

По правилу суммы производная $x + 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} (x + 4 + (x - 4) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])) - (x + 4) (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 2.5.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} (x + 4 + (x - 4) (1 + \frac{d}{d x} [4])) - (x + 4) (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 2.5.7

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} (x + 4 + (x - 4) (1 + 0)) - (x + 4) (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 2.5.8

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.8.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} (x + 4 + (x - 4) \cdot 1) - (x + 4) (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 2.5.8.2

Умножим $x - 4$ на $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} (x + 4 + x - 4) - (x + 4) (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 2.5.8.3

Добавим $x$ и $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} (2 x + 4 - 4) - (x + 4) (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 2.5.8.4

Упростим путем вычитания чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.8.4.1

Вычтем $4$ из $4$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} (2 x + 0) - (x + 4) (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 2.5.8.4.2

Добавим $2 x$ и $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} (2 x) - (x + 4) (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 2.6

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Перенесем $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x \cdot x^{2} \cdot 2 - (x + 4) (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 2.6.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{1} x^{2} \cdot 2 - (x + 4) (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 2.6.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{1 + 2} \cdot 2 - (x + 4) (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 2.6.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{3} \cdot 2 - (x + 4) (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 2.7

Перенесем $2$ влево от $x^{3}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot x^{3} - (x + 4) (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 2.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 x^{3} - (x + 4) (x - 4) (2 x)}{x^{4}}$

Этап 2.9

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 x^{3} - 2 (x + 4) (x - 4) x}{x^{4}}$

Этап 2.9.2

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{2 x^{3} - 2 (x + 4) (x - 4) x}{x^{4}}$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 (x + 4) (x - 4) x}{2 x^{4}}$

Этап 2.10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x^{3} + (- 2 x - 2 \cdot 4) (x - 4) x}{2 x^{4}}$

Этап 2.10.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.2.1.1

Умножим $- 2$ на $4$ .

$\frac{2 x^{3} + (- 2 x - 8) (x - 4) x}{2 x^{4}}$

Этап 2.10.2.1.2

Развернем $(- 2 x - 8) (x - 4)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.2.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x^{3} + (- 2 x (x - 4) - 8 (x - 4)) x}{2 x^{4}}$

Этап 2.10.2.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x^{3} + (- 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 4 - 8 (x - 4)) x}{2 x^{4}}$

Этап 2.10.2.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x^{3} + (- 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 4 - 8 x - 8 \cdot - 4) x}{2 x^{4}}$

Этап 2.10.2.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.2.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.2.1.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.2.1.3.1.1.1

Перенесем $x$ .

$\frac{2 x^{3} + (- 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 4 - 8 x - 8 \cdot - 4) x}{2 x^{4}}$

Этап 2.10.2.1.3.1.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} - 2 x \cdot - 4 - 8 x - 8 \cdot - 4) x}{2 x^{4}}$

Этап 2.10.2.1.3.1.2

Умножим $- 4$ на $- 2$ .

$\frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} + 8 x - 8 x - 8 \cdot - 4) x}{2 x^{4}}$

Этап 2.10.2.1.3.1.3

Умножим $- 8$ на $- 4$ .

$\frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} + 8 x - 8 x + 32) x}{2 x^{4}}$

Этап 2.10.2.1.3.2

Вычтем $8 x$ из $8 x$ .

$\frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} + 0 + 32) x}{2 x^{4}}$

Этап 2.10.2.1.3.3

Добавим $- 2 x^{2}$ и $0$ .

$\frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} + 32) x}{2 x^{4}}$

Этап 2.10.2.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} x + 32 x}{2 x^{4}}$

Этап 2.10.2.1.5

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.2.1.5.1

Перенесем $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 (x \cdot x^{2}) + 32 x}{2 x^{4}}$

Этап 2.10.2.1.5.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.2.1.5.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 (x^{1} x^{2}) + 32 x}{2 x^{4}}$

Этап 2.10.2.1.5.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{1 + 2} + 32 x}{2 x^{4}}$

Этап 2.10.2.1.5.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{3} + 32 x}{2 x^{4}}$

Этап 2.10.2.2

Вычтем $2 x^{3}$ из $2 x^{3}$ .

$\frac{0 + 32 x}{2 x^{4}}$

Этап 2.10.2.3

Добавим $0$ и $32 x$ .

$\frac{32 x}{2 x^{4}}$

Этап 2.10.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.3.1

Сократим общий множитель $32$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $32 x$ .

$\frac{2 (16 x)}{2 x^{4}}$

Этап 2.10.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.3.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{4}$ .

$\frac{2 (16 x)}{2 (x^{4})}$

Этап 2.10.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (16 x)}{2 x^{4}}$

Этап 2.10.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{16 x}{x^{4}}$

Этап 2.10.3.2

Сократим общий множитель $x$ и $x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.3.2.1

Вынесем множитель $x$ из $16 x$ .

$\frac{x \cdot 16}{x^{4}}$

Этап 2.10.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.3.2.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{4}$ .

$\frac{x \cdot 16}{x \cdot x^{3}}$

Этап 2.10.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{x \cdot 16}{x \cdot x^{3}}$

Этап 2.10.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = \frac{16}{x^{3}}$

Этап 3

Найдем третью производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $16$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{16}{x^{3}}$ по $x$ равна $16 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$16 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Этап 3.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Перепишем $\frac{1}{x^{3}}$ в виде ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$16 \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]$

Этап 3.2.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{3})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$16 \frac{d}{d x} [x^{3 \cdot - 1}]$

Этап 3.2.2.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$16 \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 3$ .

$16 (- 3 x^{- 4})$

Этап 3.4

Умножим $- 3$ на $16$ .

$- 48 x^{- 4}$

Этап 3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 48 \frac{1}{x^{4}}$

Этап 3.5.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Объединим $- 48$ и $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{- 48}{x^{4}}$

Этап 3.5.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f''' (x) = - \frac{48}{x^{4}}$

Этап 4

Найдем четвертую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $- 48$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{48}{x^{4}}$ по $x$ равна $- 48 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ .

$- 48 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Этап 4.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Перепишем $\frac{1}{x^{4}}$ в виде ${(x^{4})}^{- 1}$ .

$- 48 \frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}]$

Этап 4.2.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{4})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 48 \frac{d}{d x} [x^{4 \cdot - 1}]$

Этап 4.2.2.2

Умножим $4$ на $- 1$ .

$- 48 \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

Этап 4.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 4$ .

$- 48 (- 4 x^{- 5})$

Этап 4.4

Умножим $- 4$ на $- 48$ .

$192 x^{- 5}$

Этап 4.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$192 \frac{1}{x^{5}}$

Этап 4.5.2

Объединим $192$ и $\frac{1}{x^{5}}$ .

$f^{4} (x) = \frac{192}{x^{5}}$

Этап 5

Четвертая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{192}{x^{5}}$ .

$\frac{192}{x^{5}}$