Математический анализ Примеры

$\int 2 - \tan (\frac{x}{4}) d x$

Этап 1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 2 d x + \int - \tan (\frac{x}{4}) d x$

Этап 2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$2 x + C + \int - \tan (\frac{x}{4}) d x$

Этап 3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$2 x + C - \int \tan (\frac{x}{4}) d x$

Этап 4

Пусть $u = \frac{x}{4}$ . Тогда $d u = \frac{1}{4} d x$ , следовательно $4 d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Пусть $u = \frac{x}{4}$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Дифференцируем $\frac{x}{4}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]$

Этап 4.1.2

Поскольку $\frac{1}{4}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{x}{4}$ по $x$ равна $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{4} \cdot 1$

Этап 4.1.4

Умножим $\frac{1}{4}$ на $1$ .

$\frac{1}{4}$

Этап 4.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$2 x + C - \int \tan (u) \frac{1}{\frac{1}{4}} d u$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{1}{4}$ .

$2 x + C - \int \tan (u) (1 \cdot 4) d u$

Этап 5.2

Умножим $4$ на $1$ .

$2 x + C - \int \tan (u) \cdot 4 d u$

Этап 5.3

Перенесем $4$ влево от $\tan (u)$ .

$2 x + C - \int 4 \tan (u) d u$

Этап 6

Поскольку $4$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$2 x + C - (4 \int \tan (u) d u)$

Этап 7

Умножим $4$ на $- 1$ .

$2 x + C - 4 \int \tan (u) d u$

Этап 8

Интеграл $\tan (u)$ по $u$ имеет вид $\ln (| \sec (u) |)$ .

$2 x + C - 4 (\ln (| \sec (u) |) + C)$

Этап 9

Упростим.

$2 x - 4 \ln (| \sec (u) |) + C$

Этап 10

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{x}{4}$ .

$2 x - 4 \ln (| \sec (\frac{x}{4}) |) + C$

Этап 11

Изменим порядок членов.

$2 x - 4 \ln (| \sec (\frac{1}{4} x) |) + C$