Математический анализ Примеры

$\int 24 \sqrt[3]{x^{5}} - \frac{24}{\sqrt[3]{x^{5}}} d x$

Этап 1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 24 \sqrt[3]{x^{5}} d x + \int - \frac{24}{\sqrt[3]{x^{5}}} d x$

Этап 2

Поскольку $24$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $24$ из-под знака интеграла.

$24 \int \sqrt[3]{x^{5}} d x + \int - \frac{24}{\sqrt[3]{x^{5}}} d x$

Этап 3

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x^{5}}$ в виде $x^{\frac{5}{3}}$ .

$24 \int x^{\frac{5}{3}} d x + \int - \frac{24}{\sqrt[3]{x^{5}}} d x$

Этап 4

По правилу степени интеграл $x^{\frac{5}{3}}$ по $x$ имеет вид $\frac{3}{8} x^{\frac{8}{3}}$ .

$24 (\frac{3}{8} x^{\frac{8}{3}} + C) + \int - \frac{24}{\sqrt[3]{x^{5}}} d x$

Этап 5

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$24 (\frac{3}{8} x^{\frac{8}{3}} + C) - \int \frac{24}{\sqrt[3]{x^{5}}} d x$

Этап 6

Поскольку $24$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $24$ из-под знака интеграла.

$24 (\frac{3}{8} x^{\frac{8}{3}} + C) - (24 \int \frac{1}{\sqrt[3]{x^{5}}} d x)$

Этап 7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Объединим $\frac{3}{8}$ и $x^{\frac{8}{3}}$ .

$24 (\frac{3 x^{\frac{8}{3}}}{8} + C) - (24 \int \frac{1}{\sqrt[3]{x^{5}}} d x)$

Этап 7.1.2

Умножим $24$ на $- 1$ .

$24 (\frac{3 x^{\frac{8}{3}}}{8} + C) - 24 \int \frac{1}{\sqrt[3]{x^{5}}} d x$

Этап 7.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x^{5}}$ в виде $x^{\frac{5}{3}}$ .

$24 (\frac{3 x^{\frac{8}{3}}}{8} + C) - 24 \int \frac{1}{x^{\frac{5}{3}}} d x$

Этап 7.2.2

Вынесем $x^{\frac{5}{3}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$24 (\frac{3 x^{\frac{8}{3}}}{8} + C) - 24 \int {(x^{\frac{5}{3}})}^{- 1} d x$

Этап 7.2.3

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{5}{3}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$24 (\frac{3 x^{\frac{8}{3}}}{8} + C) - 24 \int x^{\frac{5}{3} \cdot - 1} d x$

Этап 7.2.3.2

Умножим $\frac{5}{3} \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.2.1

Объединим $\frac{5}{3}$ и $- 1$ .

$24 (\frac{3 x^{\frac{8}{3}}}{8} + C) - 24 \int x^{\frac{5 \cdot - 1}{3}} d x$

Этап 7.2.3.2.2

Умножим $5$ на $- 1$ .

$24 (\frac{3 x^{\frac{8}{3}}}{8} + C) - 24 \int x^{\frac{- 5}{3}} d x$

Этап 7.2.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$24 (\frac{3 x^{\frac{8}{3}}}{8} + C) - 24 \int x^{- \frac{5}{3}} d x$

Этап 8

По правилу степени интеграл $x^{- \frac{5}{3}}$ по $x$ имеет вид $- \frac{3}{2} x^{- \frac{2}{3}}$ .

$24 (\frac{3 x^{\frac{8}{3}}}{8} + C) - 24 (- \frac{3}{2} x^{- \frac{2}{3}} + C)$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Объединим $x^{- \frac{2}{3}}$ и $\frac{3}{2}$ .

$24 (\frac{3 x^{\frac{8}{3}}}{8} + C) - 24 (- \frac{x^{- \frac{2}{3}} \cdot 3}{2} + C)$

Этап 9.1.2

Перенесем $3$ влево от $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$24 (\frac{3 x^{\frac{8}{3}}}{8} + C) - 24 (- \frac{3 \cdot x^{- \frac{2}{3}}}{2} + C)$

Этап 9.1.3

Перенесем $x^{- \frac{2}{3}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$24 (\frac{3 x^{\frac{8}{3}}}{8} + C) - 24 (- \frac{3}{2 x^{\frac{2}{3}}} + C)$

Этап 9.2

Упростим.

$9 x^{\frac{8}{3}} - 24 (- \frac{3}{2 x^{\frac{2}{3}}}) + C$

Этап 9.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Умножим $- 1$ на $- 24$ .

$9 x^{\frac{8}{3}} + 24 \frac{3}{2 x^{\frac{2}{3}}} + C$

Этап 9.3.2

Объединим $24$ и $\frac{3}{2 x^{\frac{2}{3}}}$ .

$9 x^{\frac{8}{3}} + \frac{24 \cdot 3}{2 x^{\frac{2}{3}}} + C$

Этап 9.3.3

Умножим $24$ на $3$ .

$9 x^{\frac{8}{3}} + \frac{72}{2 x^{\frac{2}{3}}} + C$

Этап 9.3.4

Вынесем множитель $2$ из $72$ .

$9 x^{\frac{8}{3}} + \frac{2 \cdot 36}{2 x^{\frac{2}{3}}} + C$

Этап 9.3.5

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.5.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{\frac{2}{3}}$ .

$9 x^{\frac{8}{3}} + \frac{2 \cdot 36}{2 (x^{\frac{2}{3}})} + C$

Этап 9.3.5.2

Сократим общий множитель.

$9 x^{\frac{8}{3}} + \frac{2 \cdot 36}{2 x^{\frac{2}{3}}} + C$

Этап 9.3.5.3

Перепишем это выражение.

$9 x^{\frac{8}{3}} + \frac{36}{x^{\frac{2}{3}}} + C$