Математический анализ Примеры

$\int 15 x \sqrt{x} + 2 \sqrt{x} d x$

Этап 1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int 15 x \cdot x^{\frac{1}{2}} + 2 \sqrt{x} d x$

Этап 1.2

Умножим $x$ на $x^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перенесем $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int 15 (x^{\frac{1}{2}} x) + 2 \sqrt{x} d x$

Этап 1.2.2

Умножим $x^{\frac{1}{2}}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\int 15 (x^{\frac{1}{2}} x^{1}) + 2 \sqrt{x} d x$

Этап 1.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int 15 x^{\frac{1}{2} + 1} + 2 \sqrt{x} d x$

Этап 1.2.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\int 15 x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} + 2 \sqrt{x} d x$

Этап 1.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\int 15 x^{\frac{1 + 2}{2}} + 2 \sqrt{x} d x$

Этап 1.2.5

Добавим $1$ и $2$ .

$\int 15 x^{\frac{3}{2}} + 2 \sqrt{x} d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 15 x^{\frac{3}{2}} d x + \int 2 \sqrt{x} d x$

Этап 3

Поскольку $15$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $15$ из-под знака интеграла.

$15 \int x^{\frac{3}{2}} d x + \int 2 \sqrt{x} d x$

Этап 4

По правилу степени интеграл $x^{\frac{3}{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ .

$15 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C) + \int 2 \sqrt{x} d x$

Этап 5

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$15 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C) + 2 \int \sqrt{x} d x$

Этап 6

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$15 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C) + 2 \int x^{\frac{1}{2}} d x$

Этап 7

По правилу степени интеграл $x^{\frac{1}{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$15 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C) + 2 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C)$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим.

$15 (\frac{2}{5}) x^{\frac{5}{2}} + 2 (\frac{2}{3}) x^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 8.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Объединим $15$ и $\frac{2}{5}$ .

$\frac{15 \cdot 2}{5} x^{\frac{5}{2}} + 2 (\frac{2}{3}) x^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 8.2.2

Умножим $15$ на $2$ .

$\frac{30}{5} x^{\frac{5}{2}} + 2 (\frac{2}{3}) x^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 8.2.3

Сократим общий множитель $30$ и $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1

Вынесем множитель $5$ из $30$ .

$\frac{5 \cdot 6}{5} x^{\frac{5}{2}} + 2 (\frac{2}{3}) x^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 8.2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.2.1

Вынесем множитель $5$ из $5$ .

$\frac{5 \cdot 6}{5 (1)} x^{\frac{5}{2}} + 2 (\frac{2}{3}) x^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 8.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{5 \cdot 6}{5 \cdot 1} x^{\frac{5}{2}} + 2 (\frac{2}{3}) x^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 8.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{6}{1} x^{\frac{5}{2}} + 2 (\frac{2}{3}) x^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 8.2.3.2.4

Разделим $6$ на $1$ .

$6 x^{\frac{5}{2}} + 2 (\frac{2}{3}) x^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 8.2.4

Объединим $2$ и $\frac{2}{3}$ .

$6 x^{\frac{5}{2}} + \frac{2 \cdot 2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 8.2.5

Умножим $2$ на $2$ .

$6 x^{\frac{5}{2}} + \frac{4}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$