Математический анализ Примеры

$\int x^{4} - 2 x^{3} + \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int x^{4} d x + \int - 2 x^{3} d x + \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 2

По правилу степени интеграл $x^{4}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$\frac{1}{5} x^{5} + C + \int - 2 x^{3} d x + \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 3

Поскольку $- 2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 2$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{5} x^{5} + C - 2 \int x^{3} d x + \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 4

По правилу степени интеграл $x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{5} x^{5} + C - 2 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вынесем $x^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\frac{1}{5} x^{5} + C - 2 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Этап 5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Объединим $\frac{1}{4}$ и $x^{4}$ .

$\frac{1}{5} x^{5} + C - 2 (\frac{x^{4}}{4} + C) + \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Этап 5.2.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{5} x^{5} + C - 2 (\frac{x^{4}}{4} + C) + \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Этап 5.2.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{1}{5} x^{5} + C - 2 (\frac{x^{4}}{4} + C) + \int x^{- 2} d x$

Этап 6

По правилу степени интеграл $x^{- 2}$ по $x$ имеет вид $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{5} x^{5} + C - 2 (\frac{x^{4}}{4} + C) - x^{- 1} + C$

Этап 7

Упростим.

$\frac{x^{5}}{5} - \frac{x^{4}}{2} - x^{- 1} + C$

Этап 8

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{5} x^{5} - \frac{1}{2} x^{4} - x^{- 1} + C$