Математический анализ Примеры

$\int (1 + x^{2}) (2 - x) d x$

Этап 1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\int 1 (2 - x) + x^{2} (2 - x) d x$

Этап 1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\int 1 \cdot 2 + 1 (- x) + x^{2} (2 - x) d x$

Этап 1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\int 1 \cdot 2 + 1 (- x) + x^{2} \cdot 2 + x^{2} (- x) d x$

Этап 1.4

Изменим порядок $x^{2}$ и $2$ .

$\int 1 \cdot 2 + 1 \cdot - 1 x + 2 \cdot x^{2} + x^{2} (- x) d x$

Этап 1.5

Изменим порядок $x^{2}$ и $- 1$ .

$\int 1 \cdot 2 + 1 \cdot - 1 x + 2 \cdot x^{2} - 1 \cdot x^{2} x d x$

Этап 1.6

Умножим $2$ на $1$ .

$\int 2 + 1 \cdot - 1 x + 2 x^{2} - 1 x^{2} x d x$

Этап 1.7

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\int 2 - x + 2 x^{2} - 1 x^{2} x d x$

Этап 1.8

Вынесем за скобки отрицательное значение.

$\int 2 - x + 2 x^{2} - (x^{2} x) d x$

Этап 1.9

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\int 2 - x + 2 x^{2} - (x^{2} x^{1}) d x$

Этап 1.10

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int 2 - x + 2 x^{2} - x^{2 + 1} d x$

Этап 1.11

Добавим $2$ и $1$ .

$\int 2 - x + 2 x^{2} - x^{3} d x$

Этап 1.12

Изменим порядок $2$ и $- x$ .

$\int - x + 2 + 2 x^{2} - x^{3} d x$

Этап 1.13

Изменим порядок $2 x^{2}$ и $- x^{3}$ .

$\int - x + 2 - x^{3} + 2 x^{2} d x$

Этап 1.14

Перенесем $2$ .

$\int - x - x^{3} + 2 x^{2} + 2 d x$

Этап 1.15

Перенесем $- x$ .

$\int - x^{3} + 2 x^{2} - x + 2 d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int - x^{3} d x + \int 2 x^{2} d x + \int - x d x + \int 2 d x$

Этап 3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int x^{3} d x + \int 2 x^{2} d x + \int - x d x + \int 2 d x$

Этап 4

По правилу степени интеграл $x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$- (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int 2 x^{2} d x + \int - x d x + \int 2 d x$

Этап 5

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$- (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 2 \int x^{2} d x + \int - x d x + \int 2 d x$

Этап 6

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 2 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int - x d x + \int 2 d x$

Этап 7

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 2 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - \int x d x + \int 2 d x$

Этап 8

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 2 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 2 d x$

Этап 9

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$- (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 2 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 2 x + C$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Объединим $\frac{1}{4}$ и $x^{4}$ .

$- (\frac{x^{4}}{4} + C) + 2 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 2 x + C$

Этап 10.1.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$- (\frac{x^{4}}{4} + C) + 2 (\frac{x^{3}}{3} + C) - (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 2 x + C$

Этап 10.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$- (\frac{x^{4}}{4} + C) + 2 (\frac{x^{3}}{3} + C) - (\frac{x^{2}}{2} + C) + 2 x + C$

Этап 10.2

Упростим.

$- \frac{x^{4}}{4} + \frac{2 x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{2} + 2 x + C$

Этап 11

Изменим порядок членов.

$- \frac{1}{4} x^{4} + \frac{2}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} + 2 x + C$