Математический анализ Примеры

$\int \frac{t^{2}}{2} - \frac{2}{t^{2}} d t$

Этап 1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \frac{t^{2}}{2} d t + \int - \frac{2}{t^{2}} d t$

Этап 2

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \int t^{2} d t + \int - \frac{2}{t^{2}} d t$

Этап 3

По правилу степени интеграл $t^{2}$ по $t$ имеет вид $\frac{1}{3} t^{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{3} t^{3} + C) + \int - \frac{2}{t^{2}} d t$

Этап 4

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{3} t^{3} + C) - \int \frac{2}{t^{2}} d t$

Этап 5

Поскольку $2$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{3} t^{3} + C) - (2 \int \frac{1}{t^{2}} d t)$

Этап 6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{3} t^{3} + C) - 2 \int \frac{1}{t^{2}} d t$

Этап 6.2

Вынесем $t^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{3} t^{3} + C) - 2 \int {(t^{2})}^{- 1} d t$

Этап 6.3

Перемножим экспоненты в ${(t^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{3} t^{3} + C) - 2 \int t^{2 \cdot - 1} d t$

Этап 6.3.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{3} t^{3} + C) - 2 \int t^{- 2} d t$

Этап 7

По правилу степени интеграл $t^{- 2}$ по $t$ имеет вид $- t^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{3} t^{3} + C) - 2 (- t^{- 1} + C)$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} t^{3} - 2 (- t^{- 1}) + C$

Этап 8.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 3} t^{3} - 2 (- t^{- 1}) + C$

Этап 8.2.2

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{1}{6} t^{3} - 2 (- t^{- 1}) + C$

Этап 8.2.3

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$\frac{1}{6} t^{3} + 2 t^{- 1} + C$