Математический анализ Примеры

$\int \frac{t^{3}}{3} + \frac{1}{4 t^{2}} d t$

Этап 1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \frac{t^{3}}{3} d t + \int \frac{1}{4 t^{2}} d t$

Этап 2

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{3} \int t^{3} d t + \int \frac{1}{4 t^{2}} d t$

Этап 3

По правилу степени интеграл $t^{3}$ по $t$ имеет вид $\frac{1}{4} t^{4}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{1}{4} t^{4} + C) + \int \frac{1}{4 t^{2}} d t$

Этап 4

Поскольку $\frac{1}{4}$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $\frac{1}{4}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{3} (\frac{1}{4} t^{4} + C) + \frac{1}{4} \int \frac{1}{t^{2}} d t$

Этап 5

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вынесем $t^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\frac{1}{3} (\frac{1}{4} t^{4} + C) + \frac{1}{4} \int {(t^{2})}^{- 1} d t$

Этап 5.2

Перемножим экспоненты в ${(t^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{1}{4} t^{4} + C) + \frac{1}{4} \int t^{2 \cdot - 1} d t$

Этап 5.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{1}{3} (\frac{1}{4} t^{4} + C) + \frac{1}{4} \int t^{- 2} d t$

Этап 6

По правилу степени интеграл $t^{- 2}$ по $t$ имеет вид $- t^{- 1}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{1}{4} t^{4} + C) + \frac{1}{4} (- t^{- 1} + C)$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} t^{4} + \frac{1}{4} (- t^{- 1}) + C$

Этап 7.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{3 \cdot 4} t^{4} + \frac{1}{4} (- t^{- 1}) + C$

Этап 7.2.2

Умножим $3$ на $4$ .

$\frac{1}{12} t^{4} + \frac{1}{4} (- t^{- 1}) + C$

Этап 7.2.3

Объединим $\frac{1}{4}$ и $t^{- 1}$ .

$\frac{1}{12} t^{4} - \frac{t^{- 1}}{4} + C$

Этап 7.2.4

Перенесем $t^{- 1}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{12} t^{4} - \frac{1}{4 t} + C$