Математический анализ Примеры

$\int \sqrt[11]{x} + \sqrt[12]{x} d x$

Этап 1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \sqrt[11]{x} d x + \int \sqrt[12]{x} d x$

Этап 2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[11]{x}$ в виде $x^{\frac{1}{11}}$ .

$\int x^{\frac{1}{11}} d x + \int \sqrt[12]{x} d x$

Этап 3

По правилу степени интеграл $x^{\frac{1}{11}}$ по $x$ имеет вид $\frac{11}{12} x^{\frac{12}{11}}$ .

$\frac{11}{12} x^{\frac{12}{11}} + C + \int \sqrt[12]{x} d x$

Этап 4

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[12]{x}$ в виде $x^{\frac{1}{12}}$ .

$\frac{11}{12} x^{\frac{12}{11}} + C + \int x^{\frac{1}{12}} d x$

Этап 5

По правилу степени интеграл $x^{\frac{1}{12}}$ по $x$ имеет вид $\frac{12}{13} x^{\frac{13}{12}}$ .

$\frac{11}{12} x^{\frac{12}{11}} + C + \frac{12}{13} x^{\frac{13}{12}} + C$

Этап 6

Упростим.

$\frac{11}{12} x^{\frac{12}{11}} + \frac{12}{13} x^{\frac{13}{12}} + C$