Математический анализ Примеры

$\int t^{3} + e^{5 t} d t$

Этап 1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int t^{3} d t + \int e^{5 t} d t$

Этап 2

По правилу степени интеграл $t^{3}$ по $t$ имеет вид $\frac{1}{4} t^{4}$ .

$\frac{1}{4} t^{4} + C + \int e^{5 t} d t$

Этап 3

Пусть $u = 5 t$ . Тогда $d u = 5 d t$ , следовательно $\frac{1}{5} d u = d t$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть $u = 5 t$ . Найдем $\frac{d u}{d t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Дифференцируем $5 t$ .

$\frac{d}{d t} [5 t]$

Этап 3.1.2

Поскольку $5$ является константой относительно $t$ , производная $5 t$ по $t$ равна $5 \frac{d}{d t} [t]$ .

$5 \frac{d}{d t} [t]$

Этап 3.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$5 \cdot 1$

Этап 3.1.4

Умножим $5$ на $1$ .

$5$

Этап 3.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\frac{1}{4} t^{4} + C + \int e^{u} \frac{1}{5} d u$

Этап 4

Объединим $e^{u}$ и $\frac{1}{5}$ .

$\frac{1}{4} t^{4} + C + \int \frac{e^{u}}{5} d u$

Этап 5

Поскольку $\frac{1}{5}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{5}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{4} t^{4} + C + \frac{1}{5} \int e^{u} d u$

Этап 6

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$\frac{1}{4} t^{4} + C + \frac{1}{5} (e^{u} + C)$

Этап 7

Упростим.

$\frac{1}{4} t^{4} + \frac{1}{5} e^{u} + C$

Этап 8

Заменим все вхождения $u$ на $5 t$ .

$\frac{1}{4} t^{4} + \frac{1}{5} e^{5 t} + C$