Математический анализ Примеры

$\int {(x^{8} + 6)}^{7} (8 x^{7}) d x$

Этап 1

Перенесем $8$ влево от ${(x^{8} + 6)}^{7}$ .

$\int 8 {(x^{8} + 6)}^{7} x^{7} d x$

Этап 2

Поскольку $8$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $8$ из-под знака интеграла.

$8 \int {(x^{8} + 6)}^{7} x^{7} d x$

Этап 3

Пусть $u = x^{8} + 6$ . Тогда $d u = 8 x^{7} d x$ , следовательно $\frac{1}{8} d u = x^{7} d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть $u = x^{8} + 6$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Дифференцируем $x^{8} + 6$ .

$\frac{d}{d x} [x^{8} + 6]$

Этап 3.1.2

По правилу суммы производная $x^{8} + 6$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{8}] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{8}] + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 3.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 8$ .

$8 x^{7} + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 3.1.4

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6$ относительно $x$ равна $0$ .

$8 x^{7} + 0$

Этап 3.1.5

Добавим $8 x^{7}$ и $0$ .

$8 x^{7}$

Этап 3.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$8 \int u^{7} \frac{1}{8} d u$

Этап 4

Объединим $u^{7}$ и $\frac{1}{8}$ .

$8 \int \frac{u^{7}}{8} d u$

Этап 5

Поскольку $\frac{1}{8}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{8}$ из-под знака интеграла.

$8 (\frac{1}{8} \int u^{7} d u)$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Объединим $\frac{1}{8}$ и $8$ .

$\frac{8}{8} \int u^{7} d u$

Этап 6.2

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{8}{8} \int u^{7} d u$

Этап 6.2.2

Перепишем это выражение.

$1 \int u^{7} d u$

Этап 6.3

Умножим $\int u^{7} d u$ на $1$ .

$\int u^{7} d u$

Этап 7

По правилу степени интеграл $u^{7}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{8} u^{8}$ .

$\frac{1}{8} u^{8} + C$

Этап 8

Заменим все вхождения $u$ на $x^{8} + 6$ .

$\frac{1}{8} {(x^{8} + 6)}^{8} + C$