Математический анализ Примеры

$\int {(1 + \sin (x))}^{\frac{5}{2}} \cos (x) d x$

Этап 1

Пусть $u = 1 + \sin (x)$ . Тогда $d u = \cos (x) d x$ , следовательно $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = 1 + \sin (x)$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $1 + \sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [1 + \sin (x)]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

По правилу суммы производная $1 + \sin (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 1.1.2.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 1.1.3

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$0 + \cos (x)$

Этап 1.1.4

Добавим $0$ и $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Этап 1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int u^{\frac{5}{2}} d u$

Этап 2

По правилу степени интеграл $u^{\frac{5}{2}}$ по $u$ имеет вид $\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}}$ .

$\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}} + C$

Этап 3

Заменим все вхождения $u$ на $1 + \sin (x)$ .

$\frac{2}{7} {(1 + \sin (x))}^{\frac{7}{2}} + C$