Математический анализ Примеры

$\int (x - 1) \sin (π x) d x$

Этап 1

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x - 1$ и $d v = \sin (π x)$ .

$(x - 1) (- \frac{1}{π} \cos (π x)) - \int - \frac{1}{π} \cos (π x) d x$

Этап 2

Поскольку $- \frac{1}{π}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- \frac{1}{π}$ из-под знака интеграла.

$(x - 1) (- \frac{1}{π} \cos (π x)) - (- \frac{1}{π} \int \cos (π x) d x)$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим $\cos (π x)$ и $\frac{1}{π}$ .

$(x - 1) (- \frac{\cos (π x)}{π}) - (- \frac{1}{π} \int \cos (π x) d x)$

Этап 3.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$(x - 1) (- \frac{\cos (π x)}{π}) + 1 (\frac{1}{π} \int \cos (π x) d x)$

Этап 3.3

Умножим $\frac{1}{π}$ на $1$ .

$(x - 1) (- \frac{\cos (π x)}{π}) + \frac{1}{π} \int \cos (π x) d x$

Этап 4

Пусть $u = π x$ . Тогда $d u = π d x$ , следовательно $\frac{1}{π} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Пусть $u = π x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Дифференцируем $π x$ .

$\frac{d}{d x} [π x]$

Этап 4.1.2

Поскольку $π$ является константой относительно $x$ , производная $π x$ по $x$ равна $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$π \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$π \cdot 1$

Этап 4.1.4

Умножим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 4.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$(x - 1) (- \frac{\cos (π x)}{π}) + \frac{1}{π} \int \cos (u) \frac{1}{π} d u$

Этап 5

Объединим $\cos (u)$ и $\frac{1}{π}$ .

$(x - 1) (- \frac{\cos (π x)}{π}) + \frac{1}{π} \int \frac{\cos (u)}{π} d u$

Этап 6

Поскольку $\frac{1}{π}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{π}$ из-под знака интеграла.

$(x - 1) (- \frac{\cos (π x)}{π}) + \frac{1}{π} (\frac{1}{π} \int \cos (u) d u)$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $\frac{1}{π}$ на $\frac{1}{π}$ .

$(x - 1) (- \frac{\cos (π x)}{π}) + \frac{1}{π π} \int \cos (u) d u$

Этап 7.2

Возведем $π$ в степень $1$ .

$(x - 1) (- \frac{\cos (π x)}{π}) + \frac{1}{π^{1} π} \int \cos (u) d u$

Этап 7.3

Возведем $π$ в степень $1$ .

$(x - 1) (- \frac{\cos (π x)}{π}) + \frac{1}{π^{1} π^{1}} \int \cos (u) d u$

Этап 7.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$(x - 1) (- \frac{\cos (π x)}{π}) + \frac{1}{π^{1 + 1}} \int \cos (u) d u$

Этап 7.5

Добавим $1$ и $1$ .

$(x - 1) (- \frac{\cos (π x)}{π}) + \frac{1}{π^{2}} \int \cos (u) d u$

Этап 8

Интеграл $\cos (u)$ по $u$ имеет вид $\sin (u)$ .

$(x - 1) (- \frac{\cos (π x)}{π}) + \frac{1}{π^{2}} (\sin (u) + C)$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Перепишем $(x - 1) (- \frac{\cos (π x)}{π}) + \frac{1}{π^{2}} (\sin (u) + C)$ в виде $- x \frac{\cos (π x)}{π} + \frac{\cos (π x)}{π} + \frac{1}{π^{2}} \sin (u) + C$ .

$- x \frac{\cos (π x)}{π} + \frac{\cos (π x)}{π} + \frac{1}{π^{2}} \sin (u) + C$

Этап 9.2

Объединим $\frac{\cos (π x)}{π}$ и $x$ .

$- \frac{\cos (π x) x}{π} + \frac{\cos (π x)}{π} + \frac{1}{π^{2}} \sin (u) + C$

Этап 10

Заменим все вхождения $u$ на $π x$ .

$- \frac{\cos (π x) x}{π} + \frac{\cos (π x)}{π} + \frac{1}{π^{2}} \sin (π x) + C$

Этап 11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Изменим порядок множителей в $\frac{\cos (π x) x}{π}$ .

$- \frac{x \cos (π x)}{π} + \frac{\cos (π x)}{π} + \frac{1}{π^{2}} \sin (π x) + C$

Этап 11.2

Изменим порядок членов.

$- \frac{1}{π} x \cos (π x) + \frac{1}{π} \cos (π x) + \frac{1}{π^{2}} \sin (π x) + C$