Математический анализ Примеры

$\int \frac{\cos^{4} (x)}{\sin^{6} (x)} d x$

Этап 1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим на $1$ .

$\int \frac{\cos^{4} (x) \cdot 1}{\sin^{6} (x)} d x$

Этап 1.2

Вынесем множитель $\sin^{4} (x)$ из $\sin^{6} (x)$ .

$\int \frac{\cos^{4} (x) \cdot 1}{\sin^{4} (x) \sin^{2} (x)} d x$

Этап 1.3

Разделим дроби.

$\int \frac{1}{\sin^{2} (x)} \cdot \frac{\cos^{4} (x)}{\sin^{4} (x)} d x$

Этап 1.4

Переведем $\frac{\cos^{4} (x)}{\sin^{4} (x)}$ в $\cot^{4} (x)$ .

$\int \frac{1}{\sin^{2} (x)} \cot^{4} (x) d x$

Этап 1.5

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\int \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)} \cot^{4} (x) d x$

Этап 1.6

Перепишем $\frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}$ в виде ${(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}$ .

$\int {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} \cot^{4} (x) d x$

Этап 1.7

Переведем $\frac{1}{\sin (x)}$ в $\csc (x)$ .

$\int \csc^{2} (x) \cot^{4} (x) d x$

Этап 2

Пусть $u = \cot (x)$ . Тогда $d u = - \csc^{2} (x) d x$ , следовательно $- \frac{1}{\csc^{2} (x)} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u = \cot (x)$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $\cot (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cot (x)]$

Этап 2.1.2

Производная $\cot (x)$ по $x$ равна $- \csc^{2} (x)$ .

$- \csc^{2} (x)$

Этап 2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int - 1 u^{4} d u$

Этап 3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int u^{4} d u$

Этап 4

По правилу степени интеграл $u^{4}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$- (\frac{1}{5} u^{5} + C)$

Этап 5

Перепишем $- (\frac{1}{5} u^{5} + C)$ в виде $- \frac{1}{5} u^{5} + C$ .

$- \frac{1}{5} u^{5} + C$

Этап 6

Заменим все вхождения $u$ на $\cot (x)$ .

$- \frac{1}{5} \cot^{5} (x) + C$