Математический анализ Примеры

$\int \frac{e^{r}}{1 + e^{r}} d r$

Этап 1

Пусть $u = 1 + e^{r}$ . Тогда $d u = e^{r} d r$ , следовательно $\frac{1}{e^{r}} d u = d r$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = 1 + e^{r}$ . Найдем $\frac{d u}{d r}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $1 + e^{r}$ .

$\frac{d}{d r} [1 + e^{r}]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

По правилу суммы производная $1 + e^{r}$ по $r$ имеет вид $\frac{d}{d r} [1] + \frac{d}{d r} [e^{r}]$ .

$\frac{d}{d r} [1] + \frac{d}{d r} [e^{r}]$

Этап 1.1.2.2

Поскольку $1$ является константой относительно $r$ , производная $1$ относительно $r$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d r} [e^{r}]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d r} [a^{r}]$ имеет вид $a^{r} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$0 + e^{r}$

Этап 1.1.4

Добавим $0$ и $e^{r}$ .

$e^{r}$

Этап 1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u$

Этап 2

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C$

Этап 3

Заменим все вхождения $u$ на $1 + e^{r}$ .

$\ln (| 1 + e^{r} |) + C$