Математический анализ Примеры

$\sin (x) + \cos (x)$

Этап 1

Запишем $\sin (x) + \cos (x)$ в виде функции.

$f (x) = \sin (x) + \cos (x)$

Этап 2

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $\sin (x) + \cos (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Этап 2.2

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$\cos (x) + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Этап 2.3

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$\cos (x) - \sin (x)$

Этап 3

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $\cos (x) - \sin (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

Этап 3.2

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = - \sin (x) + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- \sin (x)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$f'' (x) = - \sin (x) - \frac{d}{d x} \sin (x)$

Этап 3.3.2

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - \sin (x) - \cos (x)$

Этап 4

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$\cos (x) - \sin (x) = 0$

Этап 5

Разделим каждый член уравнения на $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 6

Сократим общий множитель $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 6.2

Перепишем это выражение.

$1 + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 7

Разделим дроби.

$1 + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 8

Переведем $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ в $\tan (x)$ .

$1 + \frac{- 1}{1} \cdot \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 9

Разделим $- 1$ на $1$ .

$1 - \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 10

Разделим дроби.

$1 - \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Этап 11

Переведем $\frac{1}{\cos (x)}$ в $\sec (x)$ .

$1 - \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Этап 12

Разделим $0$ на $1$ .

$1 - \tan (x) = 0 \sec (x)$

Этап 13

Умножим $0$ на $\sec (x)$ .

$1 - \tan (x) = 0$

Этап 14

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- \tan (x) = - 1$

Этап 15

Разделим каждый член $- \tan (x) = - 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Разделим каждый член $- \tan (x) = - 1$ на $- 1$ .

$\frac{- \tan (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 15.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\tan (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 15.2.2

Разделим $\tan (x)$ на $1$ .

$\tan (x) = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 15.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.3.1

Разделим $- 1$ на $- 1$ .

$\tan (x) = 1$

Этап 16

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из тангенса.

$x = \arctan (1)$

Этап 17

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1

Точное значение $\arctan (1)$ : $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Этап 18

Функция тангенса положительна в первом и третьем квадрантах. Для нахождения второго решения прибавим угол приведения из $π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = π + \frac{π}{4}$

Этап 19

Упростим $π + \frac{π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Этап 19.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1

Объединим $π$ и $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Этап 19.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Этап 19.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.3.1

Перенесем $4$ влево от $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Этап 19.3.2

Добавим $4 π$ и $π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Этап 20

Решение уравнения $x = \frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}, \frac{5 π}{4}$

Этап 21

Найдем вторую производную в $x = \frac{π}{4}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- \sin (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{π}{4})$

Этап 22

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 22.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 22.1.1

Точное значение $\sin (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{π}{4})$

Этап 22.1.2

Точное значение $\cos (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 22.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 22.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- \sqrt{2} - \sqrt{2}}{2}$

Этап 22.2.2

Вычтем $\sqrt{2}$ из $- \sqrt{2}$ .

$\frac{- 2 \sqrt{2}}{2}$

Этап 22.2.3

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 22.2.3.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 (- \sqrt{2})}{2}$

Этап 22.2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 22.2.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 (- \sqrt{2})}{2 (1)}$

Этап 22.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (- \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Этап 22.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- \sqrt{2}}{1}$

Этап 22.2.3.2.4

Разделим $- \sqrt{2}$ на $1$ .

$- \sqrt{2}$

Этап 23

$x = \frac{π}{4}$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = \frac{π}{4}$ — локальный максимум

Этап 24

Найдем значение y, если $x = \frac{π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 24.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{π}{4}$ .

$f (\frac{π}{4}) = \sin (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{π}{4})$

Этап 24.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 24.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 24.2.1.1

Точное значение $\sin (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{π}{4})$

Этап 24.2.1.2

Точное значение $\cos (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 24.2.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 24.2.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2}$

Этап 24.2.2.2

Добавим $\sqrt{2}$ и $\sqrt{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Этап 24.2.2.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 24.2.2.3.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Этап 24.2.2.3.2

Разделим $\sqrt{2}$ на $1$ .

$f (\frac{π}{4}) = \sqrt{2}$

Этап 24.2.3

Окончательный ответ: $\sqrt{2}$ .

$y = \sqrt{2}$

Этап 25

Найдем вторую производную в $x = \frac{5 π}{4}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- \sin (\frac{5 π}{4}) - \cos (\frac{5 π}{4})$

Этап 26

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 26.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 26.1.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как синус отрицательный в третьем квадранте.

$- - \sin (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{5 π}{4})$

Этап 26.1.2

Точное значение $\sin (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- - \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{5 π}{4})$

Этап 26.1.3

Умножим $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 26.1.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{5 π}{4})$

Этап 26.1.3.2

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2}$ на $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{5 π}{4})$

Этап 26.1.4

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный в третьем квадранте.

$\frac{\sqrt{2}}{2} - - \cos (\frac{π}{4})$

Этап 26.1.5

Точное значение $\cos (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} - - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 26.1.6

Умножим $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 26.1.6.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + 1 \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 26.1.6.2

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2}$ на $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 26.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 26.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2}$

Этап 26.2.2

Добавим $\sqrt{2}$ и $\sqrt{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Этап 26.2.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 26.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Этап 26.2.3.2

Разделим $\sqrt{2}$ на $1$ .

$\sqrt{2}$

Этап 27

$x = \frac{5 π}{4}$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = \frac{5 π}{4}$ — локальный минимум

Этап 28

Найдем значение y, если $x = \frac{5 π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 28.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{5 π}{4}$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = \sin (\frac{5 π}{4}) + \cos (\frac{5 π}{4})$

Этап 28.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 28.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 28.2.1.1

$f (\frac{5 π}{4}) = - \sin (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{5 π}{4})$

Этап 28.2.1.2

Точное значение $\sin (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{5 π}{4})$

Этап 28.2.1.3

$f (\frac{5 π}{4}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{π}{4})$

Этап 28.2.1.4

Точное значение $\cos (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 28.2.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 28.2.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{- \sqrt{2} - \sqrt{2}}{2}$

Этап 28.2.2.2

Вычтем $\sqrt{2}$ из $- \sqrt{2}$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{- 2 \sqrt{2}}{2}$

Этап 28.2.2.3

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 28.2.2.3.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 \sqrt{2}$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{2 (- \sqrt{2})}{2}$

Этап 28.2.2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 28.2.2.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{2 (- \sqrt{2})}{2 (1)}$

Этап 28.2.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{2 (- \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Этап 28.2.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{- \sqrt{2}}{1}$

Этап 28.2.2.3.2.4

Разделим $- \sqrt{2}$ на $1$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = - \sqrt{2}$

Этап 28.2.3

Окончательный ответ: $- \sqrt{2}$ .

$y = - \sqrt{2}$

Этап 29

Это локальные экстремумы $f (x) = \sin (x) + \cos (x)$ .

$(\frac{π}{4}, \sqrt{2})$ — локальный максимум

$(\frac{5 π}{4}, - \sqrt{2})$ — локальный минимум

Этап 30