Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} \frac{x}{\tan (x)}$

Этап 1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Этап 1.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Этап 1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку тангенс — непрерывная функция.

$\frac{0}{\tan (lim_{x \to 0} x)}$

Этап 1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{\tan (0)}$

Этап 1.3.3

Точное значение $\tan (0)$ : $0$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 0} \frac{x}{\tan (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Этап 3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Этап 3.3

Производная $\tan (x)$ по $x$ равна $\sec^{2} (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\sec^{2} (x)}$

Этап 4

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)}$

Этап 4.2

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{1}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)}$

Этап 4.3

Вынесем степень $2$ в выражении $\sec^{2} (x)$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{1}{{(lim_{x \to 0} \sec (x))}^{2}}$

Этап 4.4

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку секанс — непрерывная функция.

$\frac{1}{\sec^{2} (lim_{x \to 0} x)}$

Этап 5

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{\sec^{2} (0)}$

Этап 6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{1^{2}}{\sec^{2} (0)}$

Этап 6.2

Перепишем $\frac{1^{2}}{\sec^{2} (0)}$ в виде ${(\frac{1}{\sec (0)})}^{2}$ .

${(\frac{1}{\sec (0)})}^{2}$

Этап 6.3

Выразим $\sec (0)$ через синусы и косинусы.

${(\frac{1}{\frac{1}{\cos (0)}})}^{2}$

Этап 6.4

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{1}{\cos (0)}$ .

${(1 \cos (0))}^{2}$

Этап 6.5

Умножим $\cos (0)$ на $1$ .

$\cos^{2} (0)$

Этап 6.6

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$1^{2}$

Этап 6.7

Единица в любой степени равна единице.

$1$