Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1}{x}$

Этап 1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 0} e^{x} - 1}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} e^{x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 1.2.1.2

Внесем предел под знак экспоненты.

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 1.2.1.3

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{e^{0} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1.1

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 1.2.3.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 1.2.3.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 1.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.2

По правилу суммы производная $e^{x} - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + 0}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.5

Добавим $e^{x}$ и $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x}}{1}$

Этап 4

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разделим $e^{x}$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} e^{x}$

Этап 4.2

Внесем предел под знак экспоненты.

$e^{lim_{x \to 0} x}$

Этап 5

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$e^{0}$

Этап 6

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$1$