Математический анализ Примеры

$\sum_{k = 1}^{8} k (6 k + 7)$

Этап 1

Упростим суммирование.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$k (6 k) + k \cdot 7$

Этап 1.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$6 k \cdot k + k \cdot 7$

Этап 1.3

Перенесем $7$ влево от $k$ .

$6 k \cdot k + 7 \cdot k$

Этап 1.4

Умножим $k$ на $k$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Перенесем $k$ .

$6 (k \cdot k) + 7 \cdot k$

Этап 1.4.2

Умножим $k$ на $k$ .

$6 k^{2} + 7 \cdot k$

$6 k^{2} + 7 k$

Этап 1.5

Переделаем суммирование.

$\sum_{k = 1}^{8} 6 k^{2} + 7 k$

Этап 2

Разобьем сумму на меньшие суммы в соответствии с правилами суммирования.

$\sum_{k = 1}^{8} 6 k^{2} + 7 k = 6 \sum_{k = 1}^{8} k^{2} + 7 \sum_{k = 1}^{8} k$

Этап 3

Найдем значение $6 \sum_{k = 1}^{8} k^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Формула суммирования многочлена степени $2$ :

$\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Этап 3.2

Подставим данные значения в формулу и умножим на стоящий первым член.

$(6) (\frac{8 (8 + 1) (2 \cdot 8 + 1)}{6})$

Этап 3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Добавим $8$ и $1$ .

$6 \frac{8 \cdot 9 (2 \cdot 8 + 1)}{6}$

Этап 3.3.1.2

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.1

Умножим $8$ на $9$ .

$6 \frac{72 (2 \cdot 8 + 1)}{6}$

Этап 3.3.1.2.2

Умножим $2$ на $8$ .

$6 \frac{72 (16 + 1)}{6}$

Этап 3.3.1.3

Добавим $16$ и $1$ .

$6 \frac{72 \cdot 17}{6}$

Этап 3.3.2

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Умножим $72$ на $17$ .

$6 (\frac{1224}{6})$

Этап 3.3.2.2

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$6 (\frac{1224}{6})$

Этап 3.3.2.2.2

Перепишем это выражение.

$1224$

Этап 4

Найдем значение $7 \sum_{k = 1}^{8} k$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Формула суммирования многочлена степени $1$ :

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Этап 4.2

Подставим данные значения в формулу и умножим на стоящий первым член.

$(7) (\frac{8 (8 + 1)}{2})$

Этап 4.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Добавим $8$ и $1$ .

$7 \frac{8 \cdot 9}{2}$

Этап 4.3.2

Умножим $8$ на $9$ .

$7 (\frac{72}{2})$

Этап 4.3.3

Разделим $72$ на $2$ .

$7 \cdot 36$

Этап 4.3.4

Умножим $7$ на $36$ .

$252$

Этап 5

Сложим результаты суммирования.

$1224 + 252$

Этап 6

Добавим $1224$ и $252$ .

$1476$