Математический анализ Примеры

$\sum_{k = 1}^{4} {(- \frac{1}{7})}^{k}$

Этап 1

Развернем ряд для каждого значения $k$ .

${(- \frac{1}{7})}^{1} + {(- \frac{1}{7})}^{2} + {(- \frac{1}{7})}^{3} + {(- \frac{1}{7})}^{4}$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Упростим.

$- \frac{1}{7} + {(- \frac{1}{7})}^{2} + {(- \frac{1}{7})}^{3} + {(- \frac{1}{7})}^{4}$

Этап 2.1.2

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Применим правило умножения к $- \frac{1}{7}$ .

$- \frac{1}{7} + {(- 1)}^{2} {(\frac{1}{7})}^{2} + {(- \frac{1}{7})}^{3} + {(- \frac{1}{7})}^{4}$

Этап 2.1.2.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{7}$ .

$- \frac{1}{7} + {(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{7^{2}} + {(- \frac{1}{7})}^{3} + {(- \frac{1}{7})}^{4}$

Этап 2.1.3

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$- \frac{1}{7} + 1 \frac{1^{2}}{7^{2}} + {(- \frac{1}{7})}^{3} + {(- \frac{1}{7})}^{4}$

Этап 2.1.4

Умножим $\frac{1^{2}}{7^{2}}$ на $1$ .

$- \frac{1}{7} + \frac{1^{2}}{7^{2}} + {(- \frac{1}{7})}^{3} + {(- \frac{1}{7})}^{4}$

Этап 2.1.5

Единица в любой степени равна единице.

$- \frac{1}{7} + \frac{1}{7^{2}} + {(- \frac{1}{7})}^{3} + {(- \frac{1}{7})}^{4}$

Этап 2.1.6

Возведем $7$ в степень $2$ .

$- \frac{1}{7} + \frac{1}{49} + {(- \frac{1}{7})}^{3} + {(- \frac{1}{7})}^{4}$

Этап 2.1.7

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.7.1

Применим правило умножения к $- \frac{1}{7}$ .

$- \frac{1}{7} + \frac{1}{49} + {(- 1)}^{3} {(\frac{1}{7})}^{3} + {(- \frac{1}{7})}^{4}$

Этап 2.1.7.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{7}$ .

$- \frac{1}{7} + \frac{1}{49} + {(- 1)}^{3} \frac{1^{3}}{7^{3}} + {(- \frac{1}{7})}^{4}$

Этап 2.1.8

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$- \frac{1}{7} + \frac{1}{49} - \frac{1^{3}}{7^{3}} + {(- \frac{1}{7})}^{4}$

Этап 2.1.9

Единица в любой степени равна единице.

$- \frac{1}{7} + \frac{1}{49} - \frac{1}{7^{3}} + {(- \frac{1}{7})}^{4}$

Этап 2.1.10

Возведем $7$ в степень $3$ .

$- \frac{1}{7} + \frac{1}{49} - \frac{1}{343} + {(- \frac{1}{7})}^{4}$

Этап 2.1.11

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.11.1

Применим правило умножения к $- \frac{1}{7}$ .

$- \frac{1}{7} + \frac{1}{49} - \frac{1}{343} + {(- 1)}^{4} {(\frac{1}{7})}^{4}$

Этап 2.1.11.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{7}$ .

$- \frac{1}{7} + \frac{1}{49} - \frac{1}{343} + {(- 1)}^{4} \frac{1^{4}}{7^{4}}$

Этап 2.1.12

Возведем $- 1$ в степень $4$ .

$- \frac{1}{7} + \frac{1}{49} - \frac{1}{343} + 1 \frac{1^{4}}{7^{4}}$

Этап 2.1.13

Умножим $\frac{1^{4}}{7^{4}}$ на $1$ .

$- \frac{1}{7} + \frac{1}{49} - \frac{1}{343} + \frac{1^{4}}{7^{4}}$

Этап 2.1.14

Единица в любой степени равна единице.

$- \frac{1}{7} + \frac{1}{49} - \frac{1}{343} + \frac{1}{7^{4}}$

Этап 2.1.15

Возведем $7$ в степень $4$ .

$- \frac{1}{7} + \frac{1}{49} - \frac{1}{343} + \frac{1}{2401}$

Этап 2.2

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Умножим $\frac{1}{7}$ на $\frac{343}{343}$ .

$- (\frac{1}{7} \cdot \frac{343}{343}) + \frac{1}{49} - \frac{1}{343} + \frac{1}{2401}$

Этап 2.2.2

Умножим $\frac{1}{7}$ на $\frac{343}{343}$ .

$- \frac{343}{7 \cdot 343} + \frac{1}{49} - \frac{1}{343} + \frac{1}{2401}$

Этап 2.2.3

Умножим $\frac{1}{49}$ на $\frac{49}{49}$ .

$- \frac{343}{7 \cdot 343} + \frac{1}{49} \cdot \frac{49}{49} - \frac{1}{343} + \frac{1}{2401}$

Этап 2.2.4

Умножим $\frac{1}{49}$ на $\frac{49}{49}$ .

$- \frac{343}{7 \cdot 343} + \frac{49}{49 \cdot 49} - \frac{1}{343} + \frac{1}{2401}$

Этап 2.2.5

Умножим $\frac{1}{343}$ на $\frac{7}{7}$ .

$- \frac{343}{7 \cdot 343} + \frac{49}{49 \cdot 49} - (\frac{1}{343} \cdot \frac{7}{7}) + \frac{1}{2401}$

Этап 2.2.6

Умножим $\frac{1}{343}$ на $\frac{7}{7}$ .

$- \frac{343}{7 \cdot 343} + \frac{49}{49 \cdot 49} - \frac{7}{343 \cdot 7} + \frac{1}{2401}$

Этап 2.2.7

Умножим $7$ на $343$ .

$- \frac{343}{2401} + \frac{49}{49 \cdot 49} - \frac{7}{343 \cdot 7} + \frac{1}{2401}$

Этап 2.2.8

Умножим $49$ на $49$ .

$- \frac{343}{2401} + \frac{49}{2401} - \frac{7}{343 \cdot 7} + \frac{1}{2401}$

Этап 2.2.9

Изменим порядок множителей в $343 \cdot 7$ .

$- \frac{343}{2401} + \frac{49}{2401} - \frac{7}{7 \cdot 343} + \frac{1}{2401}$

Этап 2.2.10

Умножим $7$ на $343$ .

$- \frac{343}{2401} + \frac{49}{2401} - \frac{7}{2401} + \frac{1}{2401}$

Этап 2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 343 + 49 - 7 + 1}{2401}$

Этап 2.4

Добавим $- 343$ и $49$ .

$\frac{- 294 - 7 + 1}{2401}$

Этап 2.5

Вычтем $7$ из $- 294$ .

$\frac{- 301 + 1}{2401}$

Этап 2.6

Добавим $- 301$ и $1$ .

$\frac{- 300}{2401}$

Этап 2.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{300}{2401}$

Этап 3

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{300}{2401}$

Десятичная форма:

$- 0.12494793 \dots$