Математический анализ Примеры

$\sum_{k = 1}^{30} k (k - 2) (k + 2)$

Этап 1

Упростим суммирование.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(k \cdot k + k \cdot - 2) (k + 2)$

Этап 1.2

Умножим $k$ на $k$ .

$(k^{2} + k \cdot - 2) (k + 2)$

Этап 1.3

Перенесем $- 2$ влево от $k$ .

$(k^{2} - 2 \cdot k) (k + 2)$

Этап 1.4

Развернем $(k^{2} - 2 k) (k + 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$k^{2} (k + 2) - 2 k (k + 2)$

Этап 1.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$k^{2} k + k^{2} \cdot 2 - 2 k (k + 2)$

Этап 1.4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$k^{2} k + k^{2} \cdot 2 - 2 k \cdot k - 2 k \cdot 2$

Этап 1.5

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.1

Умножим $k^{2}$ на $k$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.1.1

Умножим $k^{2}$ на $k$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.1.1.1

Возведем $k$ в степень $1$ .

$k^{2} k^{1} + k^{2} \cdot 2 - 2 k \cdot k - 2 k \cdot 2$

Этап 1.5.1.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$k^{2 + 1} + k^{2} \cdot 2 - 2 k \cdot k - 2 k \cdot 2$

Этап 1.5.1.1.2

Добавим $2$ и $1$ .

$k^{3} + k^{2} \cdot 2 - 2 k \cdot k - 2 k \cdot 2$

Этап 1.5.1.2

Перенесем $2$ влево от $k^{2}$ .

$k^{3} + 2 \cdot k^{2} - 2 k \cdot k - 2 k \cdot 2$

Этап 1.5.1.3

Умножим $k$ на $k$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.3.1

Перенесем $k$ .

$k^{3} + 2 k^{2} - 2 (k \cdot k) - 2 k \cdot 2$

Этап 1.5.1.3.2

Умножим $k$ на $k$ .

$k^{3} + 2 k^{2} - 2 k^{2} - 2 k \cdot 2$

Этап 1.5.1.4

Умножим $2$ на $- 2$ .

$k^{3} + 2 k^{2} - 2 k^{2} - 4 k$

Этап 1.5.2

Вычтем $2 k^{2}$ из $2 k^{2}$ .

$k^{3} + 0 - 4 k$

Этап 1.5.3

Добавим $k^{3}$ и $0$ .

$k^{3} - 4 k$

Этап 1.6

Переделаем суммирование.

$\sum_{k = 1}^{30} k^{3} - 4 k$

Этап 2

Разобьем сумму на меньшие суммы в соответствии с правилами суммирования.

$\sum_{k = 1}^{30} k^{3} - 4 k = \sum_{k = 1}^{30} k^{3} - 4 \sum_{k = 1}^{30} k$

Этап 3

Найдем значение $\sum_{k = 1}^{30} k^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Формула суммирования многочлена степени $3$ :

$\sum_{k = 1}^{n} k^{3} = \frac{n^{2} {(n + 1)}^{2}}{4}$

Этап 3.2

Подставим значения в формулу.

$\frac{30^{2} {(30 + 1)}^{2}}{4}$

Этап 3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Добавим $30$ и $1$ .

$\frac{30^{2} \cdot 31^{2}}{4}$

Этап 3.3.1.2

Возведем $30$ в степень $2$ .

$\frac{900 \cdot 31^{2}}{4}$

Этап 3.3.1.3

Возведем $31$ в степень $2$ .

$\frac{900 \cdot 961}{4}$

Этап 3.3.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Умножим $900$ на $961$ .

$\frac{864900}{4}$

Этап 3.3.2.2

Разделим $864900$ на $4$ .

$216225$

Этап 4

Найдем значение $4 \sum_{k = 1}^{30} k$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Формула суммирования многочлена степени $1$ :

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Этап 4.2

Подставим данные значения в формулу и умножим на стоящий первым член.

$(- 4) (\frac{30 (30 + 1)}{2})$

Этап 4.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Добавим $30$ и $1$ .

$- 4 \frac{30 \cdot 31}{2}$

Этап 4.3.1.2

Умножим $30$ на $31$ .

$- 4 (\frac{930}{2})$

Этап 4.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 4$ .

$2 (- 2) \frac{930}{2}$

Этап 4.3.2.2

Сократим общий множитель.

$2 \cdot - 2 \frac{930}{2}$

Этап 4.3.2.3

Перепишем это выражение.

$- 2 \cdot 930$

Этап 4.3.3

Умножим $- 2$ на $930$ .

$- 1860$

Этап 5

Сложим результаты суммирования.

$216225 - 1860$

Этап 6

Вычтем $1860$ из $216225$ .

$214365$