Математический анализ Примеры

$\sum_{n = 1}^{6} 2 {(5)}^{n}$

Этап 1

Сумму конечного геометрического ряда можно найти по формуле $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ , где $a$ — первый член, а $r$ — отношение между последовательными членами.

Этап 2

Найдем отношение последовательных членов, подставив в формулу $r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ и упростив.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Подставим $a_{n}$ и $a_{n + 1}$ в формулу для $r$ .

$r = \frac{2 \cdot 5^{n + 1}}{2 \cdot 5^{n}}$

Этап 2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$r = \frac{2 \cdot 5^{n + 1}}{2 \cdot 5^{n}}$

Этап 2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$r = \frac{5^{n + 1}}{5^{n}}$

Этап 2.2.2

Сократим общий множитель $5^{n + 1}$ и $5^{n}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Вынесем множитель $5^{n}$ из $5^{n + 1}$ .

$r = \frac{5^{n} \cdot 5}{5^{n}}$

Этап 2.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.2.1

Умножим на $1$ .

$r = \frac{5^{n} \cdot 5}{5^{n} \cdot 1}$

Этап 2.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$r = \frac{5^{n} \cdot 5}{5^{n} \cdot 1}$

Этап 2.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$r = \frac{5}{1}$

Этап 2.2.2.2.4

Разделим $5$ на $1$ .

$r = 5$

Этап 3

Найдем первый член ряда, подставив начальное значение и упростив.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $1$ вместо $n$ в $2 {(5)}^{n}$ .

$a = 2 \cdot 5^{1}$

Этап 3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Найдем экспоненту.

$a = 2 \cdot 5$

Этап 3.2.2

Умножим $2$ на $5$ .

$a = 10$

Этап 4

Подставим знаменатель, первый член и количество членов геометрической прогрессии в формулу суммы.

$10 \frac{1 - 5^{6}}{1 - 1 \cdot 5}$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Возведем $5$ в степень $6$ .

$10 \frac{1 - 1 \cdot 15625}{1 - 1 \cdot 5}$

Этап 5.1.2

Умножим $- 1$ на $15625$ .

$10 \frac{1 - 15625}{1 - 1 \cdot 5}$

Этап 5.1.3

Вычтем $15625$ из $1$ .

$10 \frac{- 15624}{1 - 1 \cdot 5}$

Этап 5.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Умножим $- 1$ на $5$ .

$10 \frac{- 15624}{1 - 5}$

Этап 5.2.2

Вычтем $5$ из $1$ .

$10 (\frac{- 15624}{- 4})$

Этап 5.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Вынесем множитель $2$ из $10$ .

$2 (5) \frac{- 15624}{- 4}$

Этап 5.3.2

Вынесем множитель $2$ из $- 4$ .

$2 \cdot 5 \frac{- 15624}{2 \cdot - 2}$

Этап 5.3.3

Сократим общий множитель.

$2 \cdot 5 \frac{- 15624}{2 \cdot - 2}$

Этап 5.3.4

Перепишем это выражение.

$5 (\frac{- 15624}{- 2})$

Этап 5.4

Объединим $5$ и $\frac{- 15624}{- 2}$ .

$\frac{5 \cdot - 15624}{- 2}$

Этап 5.5

Умножим $5$ на $- 15624$ .

$\frac{- 78120}{- 2}$

Этап 5.6

Разделим $- 78120$ на $- 2$ .

$39060$