Математический анализ Примеры

$\sum_{k = 0}^{10} 4 {(\frac{1}{2})}^{k}$

Этап 1

Сумму конечного геометрического ряда можно найти по формуле $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ , где $a$ — первый член, а $r$ — отношение между последовательными членами.

Этап 2

Найдем отношение последовательных членов, подставив в формулу $r = \frac{a_{k + 1}}{a_{k}}$ и упростив.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Подставим $a_{k}$ и $a_{k + 1}$ в формулу для $r$ .

$r = \frac{4 {(\frac{1}{2})}^{k + 1}}{4 {(\frac{1}{2})}^{k}}$

Этап 2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$r = \frac{4 {(\frac{1}{2})}^{k + 1}}{4 {(\frac{1}{2})}^{k}}$

Этап 2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{k + 1}}{{(\frac{1}{2})}^{k}}$

Этап 2.2.2

Сократим общий множитель ${(\frac{1}{2})}^{k + 1}$ и ${(\frac{1}{2})}^{k}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Вынесем множитель ${(\frac{1}{2})}^{k}$ из ${(\frac{1}{2})}^{k + 1}$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{k} \frac{1}{2}}{{(\frac{1}{2})}^{k}}$

Этап 2.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.2.1

Умножим на $1$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{k} \frac{1}{2}}{{(\frac{1}{2})}^{k} \cdot 1}$

Этап 2.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{k} \frac{1}{2}}{{(\frac{1}{2})}^{k} \cdot 1}$

Этап 2.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$r = \frac{\frac{1}{2}}{1}$

Этап 2.2.2.2.4

Разделим $\frac{1}{2}$ на $1$ .

$r = \frac{1}{2}$

Этап 3

Найдем первый член ряда, подставив начальное значение и упростив.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $0$ вместо $k$ в $4 {(\frac{1}{2})}^{k}$ .

$a = 4 {(\frac{1}{2})}^{0}$

Этап 3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$a = 4 \frac{1^{0}}{2^{0}}$

Этап 3.2.2

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$a = 4 \frac{1}{2^{0}}$

Этап 3.2.3

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$a = 4 (\frac{1}{1})$

Этап 3.2.4

Сократим общий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Сократим общий множитель.

$a = 4 (\frac{1}{1})$

Этап 3.2.4.2

Перепишем это выражение.

$a = 4 \cdot 1$

Этап 3.2.5

Умножим $4$ на $1$ .

$a = 4$

Этап 4

Подставим знаменатель, первый член и количество членов геометрической прогрессии в формулу суммы.

$4 \frac{1 - {(\frac{1}{2})}^{11}}{1 - \frac{1}{2}}$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Умножим $\frac{1 - {(\frac{1}{2})}^{11}}{1 - \frac{1}{2}}$ на $\frac{2}{2}$ .

$4 (\frac{2}{2} \cdot \frac{1 - {(\frac{1}{2})}^{11}}{1 - \frac{1}{2}})$

Этап 5.1.2

Объединим.

$4 \frac{2 (1 - {(\frac{1}{2})}^{11})}{2 (1 - \frac{1}{2})}$

Этап 5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$4 \frac{2 \cdot 1 + 2 (- {(\frac{1}{2})}^{11})}{2 \cdot 1 + 2 (- \frac{1}{2})}$

Этап 5.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{2}$ в числитель.

$4 \frac{2 \cdot 1 + 2 (- {(\frac{1}{2})}^{11})}{2 \cdot 1 + 2 (\frac{- 1}{2})}$

Этап 5.3.2

Сократим общий множитель.

$4 \frac{2 \cdot 1 + 2 (- {(\frac{1}{2})}^{11})}{2 \cdot 1 + 2 (\frac{- 1}{2})}$

Этап 5.3.3

Перепишем это выражение.

$4 \frac{2 \cdot 1 + 2 (- {(\frac{1}{2})}^{11})}{2 \cdot 1 - 1}$

Этап 5.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Умножим $2$ на $1$ .

$4 \frac{2 + 2 (- {(\frac{1}{2})}^{11})}{2 \cdot 1 - 1}$

Этап 5.4.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$4 \frac{2 + 2 (- \frac{1^{11}}{2^{11}})}{2 \cdot 1 - 1}$

Этап 5.4.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1^{11}}{2^{11}}$ в числитель.

$4 \frac{2 + 2 \frac{- 1^{11}}{2^{11}}}{2 \cdot 1 - 1}$

Этап 5.4.3.2

Вынесем множитель $2$ из $2^{11}$ .

$4 \frac{2 + 2 \frac{- 1^{11}}{2 \cdot 2^{10}}}{2 \cdot 1 - 1}$

Этап 5.4.3.3

Сократим общий множитель.

$4 \frac{2 + 2 \frac{- 1^{11}}{2 \cdot 2^{10}}}{2 \cdot 1 - 1}$

Этап 5.4.3.4

Перепишем это выражение.

$4 \frac{2 + \frac{- 1^{11}}{2^{10}}}{2 \cdot 1 - 1}$

Этап 5.4.4

Единица в любой степени равна единице.

$4 \frac{2 + \frac{- 1 \cdot 1}{2^{10}}}{2 \cdot 1 - 1}$

Этап 5.4.5

Возведем $2$ в степень $10$ .

$4 \frac{2 + \frac{- 1 \cdot 1}{1024}}{2 \cdot 1 - 1}$

Этап 5.4.6

Умножим $- 1$ на $1$ .

$4 \frac{2 + \frac{- 1}{1024}}{2 \cdot 1 - 1}$

Этап 5.4.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$4 \frac{2 - \frac{1}{1024}}{2 \cdot 1 - 1}$

Этап 5.4.8

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{1024}{1024}$ .

$4 \frac{2 \cdot \frac{1024}{1024} - \frac{1}{1024}}{2 \cdot 1 - 1}$

Этап 5.4.9

Объединим $2$ и $\frac{1024}{1024}$ .

$4 \frac{\frac{2 \cdot 1024}{1024} - \frac{1}{1024}}{2 \cdot 1 - 1}$

Этап 5.4.10

Объединим числители над общим знаменателем.

$4 \frac{\frac{2 \cdot 1024 - 1}{1024}}{2 \cdot 1 - 1}$

Этап 5.4.11

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.11.1

Умножим $2$ на $1024$ .

$4 \frac{\frac{2048 - 1}{1024}}{2 \cdot 1 - 1}$

Этап 5.4.11.2

Вычтем $1$ из $2048$ .

$4 \frac{\frac{2047}{1024}}{2 \cdot 1 - 1}$

Этап 5.5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Умножим $2$ на $1$ .

$4 \frac{\frac{2047}{1024}}{2 - 1}$

Этап 5.5.2

Вычтем $1$ из $2$ .

$4 \frac{\frac{2047}{1024}}{1}$

Этап 5.6

Разделим $\frac{2047}{1024}$ на $1$ .

$4 (\frac{2047}{1024})$

Этап 5.7

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1

Вынесем множитель $4$ из $1024$ .

$4 \frac{2047}{4 (256)}$

Этап 5.7.2

Сократим общий множитель.

$4 \frac{2047}{4 \cdot 256}$

Этап 5.7.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2047}{256}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{2047}{256}$

Десятичная форма:

$7.99609375$

Форма смешанных чисел:

$7 \frac{255}{256}$