Математический анализ Примеры

$\sum_{n = 1}^{8} {(\frac{1}{3})}^{n}$

Этап 1

Сумму конечного геометрического ряда можно найти по формуле $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ , где $a$ — первый член, а $r$ — отношение между последовательными членами.

Этап 2

Найдем отношение последовательных членов, подставив в формулу $r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ и упростив.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Подставим $a_{n}$ и $a_{n + 1}$ в формулу для $r$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{3})}^{n + 1}}{{(\frac{1}{3})}^{n}}$

Этап 2.2

Сократим общий множитель ${(\frac{1}{3})}^{n + 1}$ и ${(\frac{1}{3})}^{n}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем множитель ${(\frac{1}{3})}^{n}$ из ${(\frac{1}{3})}^{n + 1}$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{3})}^{n} \frac{1}{3}}{{(\frac{1}{3})}^{n}}$

Этап 2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Умножим на $1$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{3})}^{n} \frac{1}{3}}{{(\frac{1}{3})}^{n} \cdot 1}$

Этап 2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$r = \frac{{(\frac{1}{3})}^{n} \frac{1}{3}}{{(\frac{1}{3})}^{n} \cdot 1}$

Этап 2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$r = \frac{\frac{1}{3}}{1}$

Этап 2.2.2.4

Разделим $\frac{1}{3}$ на $1$ .

$r = \frac{1}{3}$

Этап 3

Найдем первый член ряда, подставив начальное значение и упростив.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $1$ вместо $n$ в ${(\frac{1}{3})}^{n}$ .

$a = {(\frac{1}{3})}^{1}$

Этап 3.2

Упростим.

$a = \frac{1}{3}$

Этап 4

Подставим знаменатель, первый член и количество членов геометрической прогрессии в формулу суммы.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 - {(\frac{1}{3})}^{8}}{1 - \frac{1}{3}}$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Умножим $\frac{1 - {(\frac{1}{3})}^{8}}{1 - \frac{1}{3}}$ на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{3} \cdot \frac{1 - {(\frac{1}{3})}^{8}}{1 - \frac{1}{3}})$

Этап 5.1.2

Объединим.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 (1 - {(\frac{1}{3})}^{8})}{3 (1 - \frac{1}{3})}$

Этап 5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{1}{3})}^{8})}{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{1}{3})}$

Этап 5.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{3}$ в числитель.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{1}{3})}^{8})}{3 \cdot 1 + 3 (\frac{- 1}{3})}$

Этап 5.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{1}{3})}^{8})}{3 \cdot 1 + 3 (\frac{- 1}{3})}$

Этап 5.3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{1}{3})}^{8})}{3 \cdot 1 - 1}$

Этап 5.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 + 3 (- {(\frac{1}{3})}^{8})}{3 \cdot 1 - 1}$

Этап 5.4.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 + 3 (- \frac{1^{8}}{3^{8}})}{3 \cdot 1 - 1}$

Этап 5.4.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1^{8}}{3^{8}}$ в числитель.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 + 3 \frac{- 1^{8}}{3^{8}}}{3 \cdot 1 - 1}$

Этап 5.4.3.2

Вынесем множитель $3$ из $3^{8}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 + 3 \frac{- 1^{8}}{3 \cdot 3^{7}}}{3 \cdot 1 - 1}$

Этап 5.4.3.3

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 + 3 \frac{- 1^{8}}{3 \cdot 3^{7}}}{3 \cdot 1 - 1}$

Этап 5.4.3.4

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 + \frac{- 1^{8}}{3^{7}}}{3 \cdot 1 - 1}$

Этап 5.4.4

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 + \frac{- 1 \cdot 1}{3^{7}}}{3 \cdot 1 - 1}$

Этап 5.4.5

Возведем $3$ в степень $7$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 + \frac{- 1 \cdot 1}{2187}}{3 \cdot 1 - 1}$

Этап 5.4.6

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 + \frac{- 1}{2187}}{3 \cdot 1 - 1}$

Этап 5.4.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 - \frac{1}{2187}}{3 \cdot 1 - 1}$

Этап 5.4.8

Чтобы записать $3$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2187}{2187}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 \cdot \frac{2187}{2187} - \frac{1}{2187}}{3 \cdot 1 - 1}$

Этап 5.4.9

Объединим $3$ и $\frac{2187}{2187}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{3 \cdot 2187}{2187} - \frac{1}{2187}}{3 \cdot 1 - 1}$

Этап 5.4.10

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{3 \cdot 2187 - 1}{2187}}{3 \cdot 1 - 1}$

Этап 5.4.11

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.11.1

Умножим $3$ на $2187$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{6561 - 1}{2187}}{3 \cdot 1 - 1}$

Этап 5.4.11.2

Вычтем $1$ из $6561$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{6560}{2187}}{3 \cdot 1 - 1}$

Этап 5.5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{6560}{2187}}{3 - 1}$

Этап 5.5.2

Вычтем $1$ из $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{6560}{2187}}{2}$

Этап 5.6

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{1}{3} (\frac{6560}{2187} \cdot \frac{1}{2})$

Этап 5.7

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1

Вынесем множитель $2$ из $6560$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2 (3280)}{2187} \cdot \frac{1}{2})$

Этап 5.7.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{3} (\frac{2 \cdot 3280}{2187} \cdot \frac{1}{2})$

Этап 5.7.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3280}{2187}$

Этап 5.8

Умножим $\frac{1}{3} \cdot \frac{3280}{2187}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.1

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{3280}{2187}$ .

$\frac{3280}{3 \cdot 2187}$

Этап 5.8.2

Умножим $3$ на $2187$ .

$\frac{3280}{6561}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{3280}{6561}$

Десятичная форма:

$0.49992379 \dots$