Математический анализ Примеры

$\sum_{n = 3}^{8} 5 n$

Этап 1

Разобьем сумму так, чтобы начальное значение $n$ было равно $1$ .

$\sum_{n = 3}^{8} 5 n = \sum_{n = 1}^{8} 5 n - \sum_{n = 1}^{2} 5 n$

Этап 2

Найдем значение $\sum_{n = 1}^{8} 5 n$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем $5$ за символ суммирования.

$(5) \sum_{n = 1}^{8} n$

Этап 2.2

Формула суммирования многочлена степени $1$ :

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Этап 2.3

Подставим данные значения в формулу и умножим на стоящий первым член.

$(5) (\frac{8 (8 + 1)}{2})$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Добавим $8$ и $1$ .

$5 \frac{8 \cdot 9}{2}$

Этап 2.4.2

Умножим $8$ на $9$ .

$5 (\frac{72}{2})$

Этап 2.4.3

Разделим $72$ на $2$ .

$5 \cdot 36$

Этап 2.4.4

Умножим $5$ на $36$ .

$180$

Этап 3

Найдем значение $\sum_{n = 1}^{2} 5 n$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Развернем ряд для каждого значения $n$ .

$5 \cdot 1 + 5 \cdot 2$

Этап 3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Умножим $5$ на $1$ .

$5 + 5 \cdot 2$

Этап 3.2.2

Умножим $5$ на $2$ .

$5 + 10$

Этап 3.2.3

Добавим $5$ и $10$ .

$15$

Этап 4

Подставим найденные значения вместо результатов суммирования.

$180 - 15$

Этап 5

Вычтем $15$ из $180$ .

$165$