Математический анализ Примеры

$\sum_{i = 1}^{22} i {(i - 1)}^{2}$

Этап 1

Упростим суммирование.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем ${(i - 1)}^{2}$ в виде $(i - 1) (i - 1)$ .

$i ((i - 1) (i - 1))$

Этап 1.2

Развернем $(i - 1) (i - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$i (i (i - 1) - 1 (i - 1))$

Этап 1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$i (i \cdot i + i \cdot - 1 - 1 (i - 1))$

Этап 1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$i (i \cdot i + i \cdot - 1 - 1 i - 1 \cdot - 1)$

Этап 1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Умножим $i$ на $i$ .

$i (i^{2} + i \cdot - 1 - 1 i - 1 \cdot - 1)$

Этап 1.3.1.2

Перенесем $- 1$ влево от $i$ .

$i (i^{2} - 1 \cdot i - 1 i - 1 \cdot - 1)$

Этап 1.3.1.3

Перепишем $- 1 i$ в виде $- i$ .

$i (i^{2} - i - 1 i - 1 \cdot - 1)$

Этап 1.3.1.4

Перепишем $- 1 i$ в виде $- i$ .

$i (i^{2} - i - i - 1 \cdot - 1)$

Этап 1.3.1.5

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$i (i^{2} - i - i + 1)$

Этап 1.3.2

Вычтем $i$ из $- i$ .

$i (i^{2} - 2 i + 1)$

Этап 1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$i \cdot i^{2} + i (- 2 i) + i \cdot 1$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Умножим $i$ на $i^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.1

Умножим $i$ на $i^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.1.1

Возведем $i$ в степень $1$ .

$i^{1} i^{2} + i (- 2 i) + i \cdot 1$

Этап 1.5.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$i^{1 + 2} + i (- 2 i) + i \cdot 1$

Этап 1.5.1.2

Добавим $1$ и $2$ .

$i^{3} + i (- 2 i) + i \cdot 1$

Этап 1.5.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$i^{3} - 2 i \cdot i + i \cdot 1$

Этап 1.5.3

Умножим $i$ на $1$ .

$i^{3} - 2 i \cdot i + i$

Этап 1.6

Умножим $i$ на $i$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Перенесем $i$ .

$i^{3} - 2 (i \cdot i) + i$

Этап 1.6.2

Умножим $i$ на $i$ .

$i^{3} - 2 i^{2} + i$

Этап 1.7

Переделаем суммирование.

$\sum_{i = 1}^{22} i^{3} - 2 i^{2} + i$

Этап 2

Разобьем сумму на меньшие суммы в соответствии с правилами суммирования.

$\sum_{i = 1}^{22} i^{3} - 2 i^{2} + i = \sum_{i = 1}^{22} i^{3} - 2 \sum_{i = 1}^{22} i^{2} + \sum_{i = 1}^{22} i$

Этап 3

Найдем значение $\sum_{i = 1}^{22} i^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Формула суммирования многочлена степени $3$ :

$\sum_{k = 1}^{n} i^{3} = \frac{n^{2} {(n + 1)}^{2}}{4}$

Этап 3.2

Подставим значения в формулу.

$\frac{22^{2} {(22 + 1)}^{2}}{4}$

Этап 3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Добавим $22$ и $1$ .

$\frac{22^{2} \cdot 23^{2}}{4}$

Этап 3.3.1.2

Возведем $22$ в степень $2$ .

$\frac{484 \cdot 23^{2}}{4}$

Этап 3.3.1.3

Возведем $23$ в степень $2$ .

$\frac{484 \cdot 529}{4}$

Этап 3.3.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Умножим $484$ на $529$ .

$\frac{256036}{4}$

Этап 3.3.2.2

Разделим $256036$ на $4$ .

$64009$

Этап 4

Найдем значение $2 \sum_{i = 1}^{22} i^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Формула суммирования многочлена степени $2$ :

$\sum_{k = 1}^{n} i^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Этап 4.2

Подставим данные значения в формулу и умножим на стоящий первым член.

$(- 2) (\frac{22 (22 + 1) (2 \cdot 22 + 1)}{6})$

Этап 4.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Добавим $22$ и $1$ .

$- 2 \frac{22 \cdot 23 (2 \cdot 22 + 1)}{6}$

Этап 4.3.1.2

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.2.1

Умножим $22$ на $23$ .

$- 2 \frac{506 (2 \cdot 22 + 1)}{6}$

Этап 4.3.1.2.2

Умножим $2$ на $22$ .

$- 2 \frac{506 (44 + 1)}{6}$

Этап 4.3.1.3

Добавим $44$ и $1$ .

$- 2 \frac{506 \cdot 45}{6}$

Этап 4.3.2

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Умножим $506$ на $45$ .

$- 2 (\frac{22770}{6})$

Этап 4.3.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{22770}{6}$

Этап 4.3.2.2.2

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$2 \cdot - 1 \frac{22770}{2 \cdot 3}$

Этап 4.3.2.2.3

Сократим общий множитель.

$2 \cdot - 1 \frac{22770}{2 \cdot 3}$

Этап 4.3.2.2.4

Перепишем это выражение.

$- 1 (\frac{22770}{3})$

Этап 4.3.2.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.3.1

Разделим $22770$ на $3$ .

$- 1 \cdot 7590$

Этап 4.3.2.3.2

Умножим $- 1$ на $7590$ .

$- 7590$

Этап 5

Найдем значение $\sum_{i = 1}^{22} i$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Формула суммирования многочлена степени $1$ :

$\sum_{k = 1}^{n} i = \frac{n (n + 1)}{2}$

Этап 5.2

Подставим значения в формулу.

$\frac{22 (22 + 1)}{2}$

Этап 5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Сократим общий множитель $22$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $22 (22 + 1)$ .

$\frac{2 (11 (22 + 1))}{2}$

Этап 5.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 (11 (22 + 1))}{2 (1)}$

Этап 5.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (11 (22 + 1))}{2 \cdot 1}$

Этап 5.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{11 (22 + 1)}{1}$

Этап 5.3.1.2.4

Разделим $11 (22 + 1)$ на $1$ .

$11 (22 + 1)$

Этап 5.3.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Добавим $22$ и $1$ .

$11 \cdot 23$

Этап 5.3.2.2

Умножим $11$ на $23$ .

$253$

Этап 6

Сложим результаты суммирования.

$64009 - 7590 + 253$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вычтем $7590$ из $64009$ .

$56419 + 253$

Этап 7.2

Добавим $56419$ и $253$ .

$56672$