Математический анализ Примеры

$\sum_{k = 1}^{6} {(- 1)}^{k} \cdot 3^{k}$

Этап 1

Сумму конечного геометрического ряда можно найти по формуле $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ , где $a$ — первый член, а $r$ — отношение между последовательными членами.

Этап 2

Найдем отношение последовательных членов, подставив в формулу $r = \frac{a_{k + 1}}{a_{k}}$ и упростив.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Подставим $a_{k}$ и $a_{k + 1}$ в формулу для $r$ .

$r = \frac{{(- 1)}^{k + 1} \cdot 3^{k + 1}}{{(- 1)}^{k} \cdot 3^{k}}$

Этап 2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сократим общий множитель ${(- 1)}^{k + 1}$ и ${(- 1)}^{k}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Вынесем множитель ${(- 1)}^{k}$ из ${(- 1)}^{k + 1} \cdot 3^{k + 1}$ .

$r = \frac{{(- 1)}^{k} (- 3^{k + 1})}{{(- 1)}^{k} \cdot 3^{k}}$

Этап 2.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1

Вынесем множитель ${(- 1)}^{k}$ из ${(- 1)}^{k} \cdot 3^{k}$ .

$r = \frac{{(- 1)}^{k} (- 3^{k + 1})}{{(- 1)}^{k} (3^{k})}$

Этап 2.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$r = \frac{{(- 1)}^{k} (- 3^{k + 1})}{{(- 1)}^{k} \cdot 3^{k}}$

Этап 2.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$r = \frac{- 3^{k + 1}}{3^{k}}$

Этап 2.2.2

Сократим общий множитель $3^{k + 1}$ и $3^{k}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Вынесем множитель $3^{k}$ из $- 3^{k + 1}$ .

$r = \frac{3^{k} (- 1 \cdot 3)}{3^{k}}$

Этап 2.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.2.1

Умножим на $1$ .

$r = \frac{3^{k} (- 1 \cdot 3)}{3^{k} \cdot 1}$

Этап 2.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$r = \frac{3^{k} (- 1 \cdot 3)}{3^{k} \cdot 1}$

Этап 2.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$r = \frac{- 1 \cdot 3}{1}$

Этап 2.2.2.2.4

Разделим $- 1 \cdot 3$ на $1$ .

$r = - 1 \cdot 3$

Этап 2.2.3

Умножим $- 1$ на $3$ .

$r = - 3$

Этап 3

Найдем первый член ряда, подставив начальное значение и упростив.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $1$ вместо $k$ в ${(- 1)}^{k} \cdot 3^{k}$ .

$a = {(- 1)}^{1} \cdot 3^{1}$

Этап 3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Найдем экспоненту.

$a = - 1 \cdot 3^{1}$

Этап 3.2.2

Найдем экспоненту.

$a = - 1 \cdot 3$

Этап 3.2.3

Умножим $- 1$ на $3$ .

$a = - 3$

Этап 4

Подставим знаменатель, первый член и количество членов геометрической прогрессии в формулу суммы.

$- 3 \frac{1 - {(- 3)}^{6}}{1 - - 3}$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Возведем $- 3$ в степень $6$ .

$- 3 \frac{1 - 1 \cdot 729}{1 - - 3}$

Этап 5.1.2

Умножим $- 1$ на $729$ .

$- 3 \frac{1 - 729}{1 - - 3}$

Этап 5.1.3

Вычтем $729$ из $1$ .

$- 3 \frac{- 728}{1 - - 3}$

Этап 5.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Умножим $- 1$ на $- 3$ .

$- 3 \frac{- 728}{1 + 3}$

Этап 5.2.2

Добавим $1$ и $3$ .

$- 3 (\frac{- 728}{4})$

Этап 5.3

Разделим $- 728$ на $4$ .

$- 3 \cdot - 182$

Этап 5.4

Умножим $- 3$ на $- 182$ .

$546$